Дана функция f(x)=2+9x+3x^2-x^3 Найти : 1. критические точки функции ; 2. экстремума функции .
1. f(x)= - x³ + 3x² + 9x +2 * * * ООФ : x ∈ R * * * Критическая точка функции , эта точка в которой ее производная равна нулю или не существует . Здесь функция непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) . --- f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x +2 ) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 = - 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3). * * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * * f ' (x) =0 ; -3(x+1)(x-3) =0 ; * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * * x₁ = -1 ; x₂ = 3 . Следовательно критические точки функции : - 1 и 3.
2. Если производная функции в критической точке a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ; b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ; c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
f ' (x) = - 3 (x+1)(x-3)
f ' (x) " - " " + " " - " (-1) ( 3) f(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает (↓)
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3) x = -1 является точкой минимума x = 3 _точкой максимума
Пусть т первый корень уравнения, тогда 2т второй корень уравнения. Подставив значения корней в уравнение ( т и 2т ) получаем систему 2х уравнений с неизвестными т и к. Решив ее, найдем значения первого корня и кожффициента к.
2т^2-кт+4=0 8т^2-2кт+4=0
-4т^2+2кт-8=0 8т^2-2кт+4=0
4т^2-4=0 2т^2-кт+4=0
т=1 или т= -1
Если т=1 то к=6, если т= -1 то к= -6.
Таким образом получили 2 случая:
1) при к=6 корни уравнения ( т и 2т ) равны 1 и 2
2) при к= -6 корни уравнения ( т и 2т ) равны -1 и -2
ответ: к=6, х1=1, х2=2 или к= -6, х1= -1, х2= -2
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
