Объяснение: Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.
Например, 2+ 14 + 45 — многочлен представлен в виде суммы одночленов. После разложения на множители многочлен примет вид
(+5)(+9), где +5 и +9 являются множителями.
Пример:
задание. Разложить число 36 на два множителя различными
36 = 2⋅18;36 = 3⋅12;36 = 4⋅9.
Для разложения многочлена на множители используют такие
1. вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен 7–7.
Решение: 7–7=7(–).
Вынесли общий множитель за скобки, получили произведение двух множителей: 7 и −.
2. Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 92−252=322−522=(3)2−(5)2=(3−5)(3+5).
3. Метод группировки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 35+7−5−1=(35−5)+(7−1)=5(7−1)+(7−1)=(7−1)(5+1).
Умение раскладывать на множители необходимо для преобразования выражений, при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и неравенств.
Пример:
задание. Упростить выражение.
Решение: 25−2(5+)(13−)=52−2(5+)(13−)=(5−)(5+)(5+)(13−)=5−13−
— в числителе применили формулу «разность квадратов»;
— сократили дробь на выражение 5+а.
Пример:
задание. Решить уравнение:
42+8−−2=0;(42−)+(8−2)=0;(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+2(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=0;(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯(+2)=0;
4−1=0;4=1;1=0,25; или +2=0;=−2;2=−2.
ответ: −2;0,25
— сгруппировали;
— вынесли общие множители за скобки в каждой скобке;
— вынесли общие множители слагаемых за скобки.
Подробнее перечисленные выше рассмотрим далее, в отдельных темах.
а)
x²/(x²-4)=(5x-6)/(x²-4) \×(x²-4) ОДЗ:x≠2
x²=5x-6
x²-5x+6=0
a=1, b=5, c=-6
D=b²/4×a×c=5²/4×1×(-6)=25+24=49
D>0=>2 корня
x=(-b+-√D)/2×a
x1=(-5+7)/2;x1=1
x2=(-5-7)/2;x2=-6
ответ:x1=1,x2=-6
b)
(x²-6x)/(x-5)=5/(5-x) ОДЗ:x≠5
(x²-6x)/(x-5)=-(5/(x-5)) \×(x-5)
x²-6x=-5
x²-6x+5=0
a=1, b=-6, c=5
D=(-6)²-4×1×5=36-20=16
D>0=>2 корня
x1=(6+4)/2;x1=5
x2=(6-4)/2;x2=1
x1 не соответствует ОДЗ
ответ:x=1
c)
2/3+4/x=x/12 ОДЗ:x≠0
8x/12x+48/12x=x²/12x \×12x
8x+48=x²
-x²+8x+48=0
a=-1,b=8,c=48
D=8²-4×(-1)×48=64+192=256
D>0=>2 корня
x1=(-8+16)/(-2);x1=-4
x2=(-8-16)/(-2);x2=12
ответ:x1=-4,x2=12
