Доказательство проведём методом матиндукции
1) 5ⁿ+2ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 5 + 4 = 9 - делится нацело на 3.
2. предположим, что и при n = k выражение 5^k+2^(k+1) кратно 3
3. проверим гипотезу при n = k+1. 5^(k+1)+2^(k+2) = 5·5^k + 2·2^(k+1)=
= 3·5^k + 2·5^k+ 2·2^(k+1) = 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 3, а второе - кратно 3 согласно нашего предположения, то и вся сумма 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)) кратна 3. Значит 5ⁿ+2ⁿ⁺¹ делится на з нацело при любых n∈N.
2) 7ⁿ+3ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 7 + 9 = 16 - делится нацело на 4.
2. предположим, что и при n = k выражение 7^k+3^(k+1) кратно 4
3. проверим гипотезу при n = k+1. 7^(k+1)+3^(k+2) = 7·7^k + 3·3^(k+1)=
= 4·7^k + 3·7^k+ 3·3^(k+1) = 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 4, а второе - кратно 4 согласно нашего предположения, то и вся сумма, 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)), кратна 4. Значит 7ⁿ+3ⁿ⁺¹ делится на 4 нацело при любых n∈N.
Время движения велосипедиста: t1 = s/v = 2/v. Переведем 12 минут в часы. Если 60 мин - это 1 час, то 12 минут - это 12/60 = 0.2 (часа).
Время движения пешехода: t2 = s/v = 2/(v-9). Велосипедист потратил на преодоление пути на 0.2 часа меньше, то есть:
t2 - t1 = 2/(v-9) - 2/v = 0.2.
Умножим обе части полученного равенства на 5:
10/(v-9) - 10/v = 1;
(10v-10v+90)/(v(v-9)) = 1;
v^2 - 9v - 90 = 0; (*)
Используем теорему, обратной теореме Виета: сумма корней уравнения (*) равна 9, произведение - -90. Очевидно, что корни - это числа 15 и -6.
Скорость не может быть выражена отрицательным числом, следовательно, скорость движения велосипедиста равна 15 км/ч, пешехода - (15-9) км/ч = 6 км/ч.
ответ: 15 км/ч; 6 км/ч.
