Думаю, что понятия линейного пространства, линейной зависимости и независимости, базиса объяснять не надо.
Пусть есть два базиса, 
и 
Чтобы получить матрицу перехода от первого базиса ко второму базису, нужно векторы второго базиса разложить по векторам первого базиса, и коэффициенты разложений записать по столбцам.
