Выберите все решения неравенства sin x * cos x ≥ 1/4 на интервале (0, 3π)

Для решения данного неравенства, нам понадобятся некоторые знания о функциях синуса и косинуса.

Шаг 1: Задача состоит в том, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют неравенству sin x * cos x ≥ 1/4 на интервале (0, 3π). Для этого решим уравнение sin x * cos x = 1/4 и найдем его решения.

Шаг 2: Воспользуемся тригонометрическими свойствами, чтобы преобразовать уравнение sin x * cos x = 1/4. Мы можем использовать следующие свойства:

sin(2x) = 2sin x * cos x
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Применим эти свойства:

2sin x * cos x = 1/2 * sin(2x)
cos^2(x) = (1 - sin^2(x))

Теперь у нас есть два уравнения, которые связаны между собой:

(1/2) * sin(2x) = 1/4
cos^2(x) = (1 - sin^2(x))

Шаг 3: Решим первое уравнение (1/2) * sin(2x) = 1/4. Разделим обе части на (1/2):

sin(2x) = 1/2

Шаг 4: Найдем все значения x на интервале (0, 3π), которые удовлетворяют уравнению sin(2x) = 1/2. Для этого воспользуемся таблицей значений функции синуса на интервале (0, 3π):

x = π/6, 5π/6, 9π/6, 13π/6

Следует отметить, что значения π/6 и 5π/6 попадают на интервал (0, 3π).

Шаг 5: Теперь вычислим значения cos^2(x) для всех найденных значений x:

cos^2(π/6) = 1 - sin^2(π/6) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4
cos^2(5π/6) = 1 - sin^2(5π/6) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4

Шаг 6: Последний шаг - сравним значения cos^2(x), полученные в шаге 5, с 1/4. Так как мы ищем значения, при которых sin x * cos x ≥ 1/4, мы ищем значения x, для которых cos^2(x) ≥ 1/4.

Исходя из шага 5, мы можем заметить, что оба значения cos^2(x) равны 3/4, что больше, чем 1/4. Это означает, что оба значения x (π/6 и 5π/6) удовлетворяют неравенству sin x * cos x ≥ 1/4 на интервале (0, 3π).

Итак, решениями данного неравенства на интервале (0, 3π) являются x = π/6 и x = 5π/6.