Решить пример на тему "Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла" и прикрепить

Найдите  a,  b,  c, если  точка  M (-1; -3)  являются  вершиной  параболы
у = ах^2 + bx + с, пересекающей ось координат в точке N (0;1).

y =ax²+bx +c ;
Парабола пересекает ось координат (в данном случае ось  OY ) в точке 
N (0;1)  , значит   :  1 =a*0²+b*0  +c  ⇒ с =1.

Координаты X (M)  и  Y(M)  вершины параболы  определяются  по
формулам 
{ X (M) = -b / 2a   ;  Y(M) =  -  (b² -4ac) / 4a  . 
Значения  коэффициента  c  известно, поэтому  коэффициенты  a  и  b   теперь  можно  определить  из системы  :
{ -1  = - b/2a    ;  - 3 = -( b² -4a*1) /4a . ⇔{  b=2a   ;   3 =  ((2a)² - 4a)/  4a . ⇔
{ b=2a  ;  3 =  (4a² -4a)  /4a . ⇔ {  b=2a    ; 3 =  4a( a - 1)/  4a. ⇔
{b=2a    ; 3  =   a - 1 . ⇒ a =4  ;b=2*4=8. 

ответ  а =4 ;  b = 8 ;  с=1 .  * * *   y =ax²+bx +c =4x²+8x +1 = 4(x+1)²+  -3 . * * *

* * * * * * *
y =ax² +bx +c =  a(x² +(b/a )*x+c/a) = a(x² +2*x*(b/2a)+ (b/2a)² - (b/2a)²+ c/a) )=
 a(  ( x+ (b/2a))² - b ²/4a  + c  =  a ( x+ (b/2a))² - (b ² - 4ac )/4a  . 

Парабола симметричная фигура . это ясно. если сложить ее по оси симметрии, то две ее ветви сольются. то есть сгибать ее надо в точке минимума, так как именно в этой точке она из убывающей становится возрастающей. эта ось симметрии будет параллельна оси оу       . осталось найти координаты точки перегиба.(вершины параболы). для этого есть красивая формула . x0 = - b / 2a. y = 2 x^2 - 5 x + 1; a = 2 ; b = - 5; x0 = 5/4 = 1,25. тогда уравнение оси симметрии примет вид   х = 1,25. другими словами, при любом значении   у   значение х будет равно 1,25. это линия - вертикальная ось  . перпендикулярно оси 0х через точку х =1,25 проводим линию и получаем ось симметрии.