На бесконечной шахматной доске с клетками размером 1х1 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. внутри ломаной оказалось k чёрных клеток. какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

Наибольшая площадь будет иметь фигура при диагональном расположении черных клеток (на вложенном чертеже  пример  при  k=4) , тогда площадь  каждого ряда равна 3 (черная клетка и две соседние белые),  количество рядов -  k,  итого площадь  k рядов равна  3k.  И плюс две клетки: одна над верхним рядом и одна под нижним.   Итого наибольшая площадь равна 3k + 2.
В данном примере при k=4  площадь равна 3*4 + 2 = 14.