Вариант 4 1. Решите уравнение:
а) 2 sin x - 1= 0;
б) 2 sin2 x+ 3 sin x cos x+cos2 х = 0.
2. Решите неравенство х(9х2 – 4) > 0.
3. Пусть у = 12х – х3 + 5. Исследуйте функцию и по-
стройте ее график.
Для этого найдите:
а) область определения D(у);
б) производную и критические точки;
в) промежутки монотонности;
е
г) точки экстремума и экстремумы;
д) точку пересечения с осью Оу и несколько точек
графика;
е) множество значений Е(y) функции;
ж) корни функции (можно приближенно).​

1. Решение уравнения:
а) 2 sin x - 1 = 0
Сначала добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
2 sin x = 1
Затем разделим обе стороны на 2:
sin x = 1/2
Для нахождения решений этого уравнения, нам нужно использовать таблицу значений или тригонометрический круг. Из таблицы или круга мы видим, что синус принимает значения 1/2 при углах 30 градусов и 150 градусов. Также синус представляет периодическую функцию, поэтому мы можем найти другие решения, добавив к этим углам целое количество полных оборотов (360 градусов) или 2π радианов. Таким образом, общее решение уравнения будет:
x = 30° + 360°n, где n - целое число
или
x = π/6 + 2πn, где n - целое число

б) 2 sin^2 x + 3 sin x cos x + cos^2 x = 0
Раскроем квадраты и перепишем выражение в более удобной форме:
2(1 - cos^2 x) + 3 sin x cos x + cos^2 x = 0
Упростим:
2 - 2cos^2 x + 3 sin x cos x + cos^2 x = 0
Разложим произведение sin x cos x на (sin x) и (cos x):
2 + cos^2 x - 2cos^2 x + sin x cos x = 0
Объединим подобные члены:
2 - cos^2 x + sin x cos x = 0
Перепишем последнее слагаемое в виде произведения sin x и cos x:
2 - cos^2 x + 2 sin x cos x = 0
или
2(1 + sin x cos x) - cos^2 x = 0
Теперь, чтобы решить это уравнение, можно ввести замену:
t = sin x cos x
Тогда уравнение примет вид:
2(1 + t) - (1 - t^2) = 0
2 + 2t - 1 + t^2 = 0
t^2 + 2t + 1 = 0
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя метод раскладывания на множители или формулу квадратного корня. Оба метода дадут нам одно и то же решение:
(t + 1)^2 = 0
t + 1 = 0
t = -1
Теперь заменим обратно t на sin x cos x:
sin x cos x = -1
Для нахождения решений этого уравнения, снова воспользуемся таблицей значений или тригонометрическим кругом. Видим, что произведение синуса и косинуса равно -1 при угле 135 градусов или 3π/4 радианов. Также, как и в предыдущем случае, мы можем найти другие решения, добавив целое количество полных оборотов (360 градусов) или 2π радианов. Таким образом, общее решение уравнения будет:
x = 135° + 360°n, где n - целое число
или
x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число

2. Решение неравенства:
х(9х^2 - 4) > 0
Для решения этого неравенства, нужно найти значения х, которые делают левую сторону неравенства положительной.
Для начала, найдем значения х, при которых выражение х(9х^2 - 4) равно нулю:
х(9х^2 - 4) = 0
По свойству произведения двух факторов равно нулю, один или оба фактора должны быть равны нулю:
х = 0 или 9х^2 - 4 = 0
Если х = 0, то левая сторона неравенства равна нулю и не является положительной.
Решим второе уравнение:
9х^2 - 4 = 0
(3х - 2)(3х + 2) = 0
Таким образом, получаем два значения:
3х - 2 = 0 или 3х + 2 = 0
3х = 2 или 3х = -2
х = 2/3 или х = -2/3
Теперь нужно проанализировать интервалы между найденными значениями х и определить, при каких значениях х левая сторона неравенства больше нуля. Для этого можно построить числовую прямую и проверить значения в интервалах, или использовать метод пробных значений.
Рассмотрим интервалы:
(-∞, -2/3), (-2/3, 0), (0, 2/3), (2/3, +∞)
Выберем пробные значения в каждом интервале и проверим их:
При х = -1, х(-9 - 4) = -15, левая сторона неравенства меньше нуля.
При х = -1/2, х(-9/4 - 4) = 5/4, левая сторона неравенства больше нуля.
При х = 1/2, х(9/4 - 4) = -5/4, левая сторона неравенства меньше нуля.
При х = 1, х(9 - 4) = 5, левая сторона неравенства больше нуля.
Итак, интервалы, где левая сторона неравенства больше нуля, это (-2/3, 0) и (2/3, +∞).
Объединив интервалы, получаем окончательное решение неравенства:
х ∈ (-2/3, 0) U (2/3, +∞)

3. Исследование функции у = 12х - х^3 + 5 и построение ее графика.
а) Область определения D(у):
Функция у определена для любого значения х, так как у не содержит знаменательных выражений или извлечений корней. Таким образом, D(у) = (-∞, +∞).

б) Производная и критические точки:
Для нахождения производной функции у, нужно взять производную каждого члена по отдельности:
y' = 12 - 3x^2
Производная показывает скорость изменения функции и поможет нам найти экстремумы функции и точки перегиба.
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
12 - 3x^2 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±2
Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -2 и x = 2.

в) Промежутки монотонности:
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной в каждом интервале между критическими точками и на бесконечностях.
Рассмотрим интервалы:
(-∞, -2), (-2, 2), (2, +∞)
Выберем пробные значения в каждом интервале и проверим их:
При х = -3, y' = 12 - 27 = -15, производная меньше нуля.
При х = -1, y' = 12 - 3 = 9, производная больше нуля.
При х = 1, y' = 12 - 3 = 9, производная больше нуля.
При х = 3, y' = 12 - 27 = -15, производная меньше нуля.
Итак, функция у возрастает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), и убывает на интервале (-2, 2).

г) Точки экстремума и экстремумы:
Для нахождения точек экстремума, нужно найти значения у в критических точках и проверить, являются ли они максимумами или минимумами.
Подставим х = -2 в функцию у:
у = 12(-2) - (-2)^3 + 5
у = -24 + 8 + 5
у = -11
Таким образом, при х = -2 у функции у есть локальный минимум -11.
Подставим х = 2 в функцию у:
у = 12(2) - 2^3 + 5
у = 24 - 8 + 5
у = 21
Таким образом, при х = 2 у функции у есть локальный максимум 21.

д) Точка пересечения с осью Оу и несколько точек графика:
Для нахождения точки пересечения с осью Оу, нужно подставить х = 0 в функцию у:
у = 12(0) - (0)^3 + 5
у = 0 + 0 + 5
у = 5
Таким образом, функция пересекает ось Оу в точке (0, 5).
Для построения графика функции, можно выбрать несколько значений х и вычислить соответствующие значения у:
При х = -3, у = 12(-3) - (-3)^3 + 5 = -27 + 27 + 5 = 5
При х = -1, у = 12(-1) - (-1)^3 + 5 = -12 + 1 + 5 = -6
При х = 1, у = 12(1) - (1)^3 + 5 = 12 - 1 + 5 = 16
При х = 3, у = 12(3) - (3)^3 + 5 = 36 - 27 + 5 = 14

е) Множество значений Е(y):
Множество значений функции у будет зависеть от области определения D(у), а именно от минимального и максимального значения у на этой области. Но так как D(у) = (-∞, +∞), то множество значений у будет от (-∞, +∞).

ж) Корни функции:
Чтобы найти корни функции у, нужно решить уравнение у = 0:
0 = 12х - х^3 + 5
Перепишем уравнение в виде:
х^3 - 12х + 5 = 0
Точное аналитическое решение этого уравнения сложно искать, но можно использовать численные методы или график функции, чтобы найти приближенные значения корней. Например, можно использовать графический калькулятор или программу для построения графиков функций, чтобы найти точки пересечения графика с осью Ox.

Таким образом, мы решили уравнения, неравенство и исследовали функцию, включая ее область определения, производную, промежутки монотонности, точки экстремума, точку пересечения с осью Оу, множество значений и корни.