Сократите дробь 35x^7/14x^9

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так

1) 7х ² - 21 = 0 /( 7х ² / 7 - 21 / 7 = 0 / 7 )

х ² - 3 = 0

х ² = 3

х = √3

х = - √3

2) 5х ² + 9х = 0

d = b ² - 4ac = 9² - 4 * 5 * 0 = 81 - 0 = 81 ;

d > 0, то квадратное уравнение имеет 2 корня

х1 = - 9 - √81 / 2 * 5 = -18/10 = -1,8

х2 = -9 + √81 / 2 * 5 = 0/10 = 0

3) х² + х - 42 = 0

d = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * ( - 42 ) = 1 + 168 = 169

d > 0, то квадратное уравнение имеет 2 корня

x1 = - 1 - √169 / 2 * 1 = -14/2 = -7

x2 = -1 + √169 / 2 * 1 = 12/2 = 6

4) 3x² - 28x + 9 = 0

d = b² - 4ac = 28² - 4 * 3 * 9 = 784 - 108 = 676

d > 0, то квадратное уравнение имеет 2 корня

x1 = - 28 - √676 / 2 * 3 = -54/6 = -9

x2 = - 28 + √676 / 2 * 3 = - 28 + 26 / 6 = - 2/6 =

- 1/3

5) 2x² - 8x + 11 = 0

d = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 2 * 11 = 64 - 88 = -24

d < 0 , то уравнение не имеет корней.

6) 16х² - 8х + 1 = 0

d = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 16 * 1 = 64 - 64 = 0

d = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень

х = 8 / 2 * 16 = 0,25