В секции го 55 ребят разного рейтинга. Ребята решили сыграть турнир, каждый с каждым по одной партии. Чтобы было интереснее, некоторым ребятам было разрешено ровно один раз за турнир воспользоваться компьютера. Если в партии встречаются ребята, один из которых пользуется компьютера, а другой нет, то побеждает пользующийся компьютером; иначе побеждает более высокий по рейтингу. Ничьих в го не бывает.
По итогам турнира нашлись двое ребят, каждый из которых выиграл больше партий, чем любой из двух ребят с наибольшим рейтингом. Каким могло быть наибольшее количество ребят, не пользовавшихся компьютером?

ответ: А) 1

Объяснение:

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₁ + 2d

Складемо систему рівнянь:

{a₁ + a₂ + a₃ = 2                

{a₁² + a₂² + a₃² = 14/9    

{a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 2

{3a₁ + 3d = 2 | :3    

{a₁ + d = 2/3

a₂ = 2/3

Підставимо у друге рівняння a₂ = 2/3

{a₁² + (2/3)²+ a₃² = 14/9            

{a₁² + 4/9 + a₃² = 14/9  

a₁² + a₃² = 14/9 - 4/9

a₁² + a₃² = 10/9

a₁² + (a₁ + 2d)² = 10/9

a₁² + a₁² + 4a₁d + 4d² = 10/9

2a₁² + 4a₁d + 4d² = 10/9  | :2

a₁² + 2a₁d + 2d₁² = 5/9

a₁² + 2a₁d + d² + d² = 5/9

(a₁ + d)² + d² = 5/9

a₂² + d² = 5/9

(2/3)² + d² = 5/9

4/9 + d² = 5/9

d² = 5/9 - 4/9

d² = 1/9

d = ± 1/3  

Звідси знайдемо третій член прогресії:

d = 1/3

a₁ = a₂ - d = 2/3 - 1/3 = 1/3

a₃ = a₁ + 2d = 1/3 + 2 * 1/3 = 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

Задание 1

Задание 2

2

Объяснение:

Задание 1

Формулы:

Поэтому,

Задание 2

Надо найти последнюю цифру числа 2^53. Двойка 53 раза умножается на саму себя. Найдем закономерность (смотрим на последнюю цифру):

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

2^5 = 32

2^6 = 64

2^7 = 128

2^8 = 256

2^9 = 512

2^10 = 1024

...

Последние цифры идут в таком порядке: 2, 4, 8, 6.

Остаток от деления степени на 4 равен 1 => последняя цифра 2Остаток от деления степени на 4 равен 2 => последняя цифра 4Остаток от деления степени на 4 равен 3 => последняя цифра 8Остаток от деления степени на 4 равен 0 => последняя цифра 6

53 mod 4 = 1 => последняя цифра 2.