Вариант 3 1. Найдите десятый член и сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 2, a2 = 6.

2. Найдите третий член и сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = − и q = 5.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии −4, 1, − , ... .

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an), равного 4,9, если a1 = 1,4 и d = 0,5.

5. Какие два числа надо вставить между числами 4 и −108, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений x − 3, x + 4 и 2x − 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210.

Вариант 4

1. Найдите седьмой член и сумму первых семи членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 5, a2 = 11.

2. Найдите шестой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = и q = 2.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии −6, 1, − , ... .

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an), равного 8,9, если a1 = 4,1 и d = 0,6.

5. Какие два числа надо вставить между числами 3 и −192, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений x − 7, x + 5 и 3x + 1 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 11, которые больше 100 и меньше 180.
Блин, контра, решите последние 4 задания. 50 кину на тел

1. Для нахождения десятого члена арифметической прогрессии (an), используем формулу:

an = a1 + (n-1)d

где a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.

В данном случае, a1 = 2, a2 = 6. Разность между членами прогрессии (d) можно найти, вычитая первый член из второго:

d = a2 - a1 = 6 - 2 = 4

Теперь, подставим значения в формулу:

a10 = a1 + (10-1)d = 2 + 9(4) = 2 + 36 = 38

Таким образом, десятый член арифметической прогрессии равен 38.

Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, можем использовать следующую формулу:

Sn = (n/2)(a1 + an)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Теперь подставим значения в формулу:

S10 = (10/2)(2 + 38) = 5(40) = 200

Таким образом, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 200.

2. Для нахождения третьего члена геометрической прогрессии (bn), используем формулу:

bn = b1 * q^(n-1)

где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.

В данном случае, b1 = -1, q = 5.

Подставим значения в формулу для нахождения третьего члена:

b3 = -1 * 5^(3-1) = -1 * 5^2 = -1 * 25 = -25

Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен -25.

Чтобы найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, используем следующую формулу:

Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Подставим значения в формулу:

S4 = -1 * (1 - 5^4) / (1 - 5) = -1 * (1 - 625) / (-4) = 624 / 4 = 156

Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 156.

3. Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, используем следующую формулу:

S_inf = b1 / (1 - q)

где S_inf - сумма бесконечной прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данном случае, b1 = -4, q = 1/4.

Подставим значения в формулу:

S_inf = -4 / (1 - 1/4) = -4 / (3/4) = -16/3

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -16/3.

4. Для нахождения номера члена арифметической прогрессии равного 4.9, используем формулу для общего члена прогрессии:

an = a1 + (n-1)d

где an - общий член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.

В данном случае, a1 = 1.4, d = 0.5, an = 4.9.

Подставим значения в формулу и решим уравнение:

4.9 = 1.4 + (n-1)(0.5)

4.9 - 1.4 = 0.5n - 0.5

3.5 = 0.5n - 0.5

0.5n = 4

n = 8

Таким образом, номер члена арифметической прогрессии, равного 4.9, равен 8.

5. Чтобы найти два числа, которые надо вставить между числами 4 и -108, чтобы получилась геометрическая прогрессия, используем следующую формулу:

bn = b1 * q^(n-1)

где bn - n-ый член геометрической прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.

В данном случае, b1 = 4, q = -3.

Подставим значения в формулу для нахождения второго члена:

b2 = 4 * (-3)^(2-1) = 4 * (-3) = -12

Подставим значения в формулу для нахождения третьего члена:

b3 = 4 * (-3)^(3-1) = 4 * (9) = 36

Таким образом, два числа, которые можно вставить между числами 4 и -108, чтобы получилась геометрическая прогрессия, -12 и 36.

6. При каком значении x значения выражений x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы значения выражений стали последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться следующее условие:

(x + 4) / (x - 3) = (2x - 40) / (x + 4)

Решим уравнение:

(x + 4)(x + 4) = (2x - 40)(x - 3)

Раскроем скобки:

x^2 + 8x + 16 = 2x^2 - 126x + 120

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

x^2 - 134x + 104 - 2x^2 - 8x - 16 = 0

-x^2 - 142x + 88 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Решим его используя квадратную формулу:

x = (-(-142) ± √((-142)^2 - 4(-1)(88) )) / (2(-1))

x = (142 ± √(20164 + 352 )) / 2

x = (142 ± √20416) / 2

x = (142 ± 143.02) / 2

Разделим на 2:

x = (142 + 143.02) / 2 = 285.02 / 2 = 142.51

x = (142 - 143.02) / 2 = -1.02 / 2 = -0.51

Таким образом, при x = 142.51 и x = -0.51 значения выражений x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии:

x - 3 = 142.51 - 3 = 139.51
x + 4 = 142.51 + 4 = 146.51
2x - 40 = 2(142.51) - 40 = 285.02 - 40 = 245.02

x - 3 = -0.51 - 3 = -3.51
x + 4 = -0.51 + 4 = 3.49
2x - 40 = 2(-0.51) - 40 = -1.02 - 40 = -41.02

7. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210, можем использовать формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии:

Sn = (n/2)(a1 + an)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.

В данном случае, a1 = 126 (первое число, кратное 9, которое больше 120 и меньше 210), an = 207 (последнее число, кратное 9, которое больше 120 и меньше 210).

Подставим значения в формулу для нахождения суммы:

Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(126 + 207)

Теперь нужно найти n. Мы знаем, что последний член прогрессии, an, равен 207. Для нахождения n, используем формулу:

an = a1 + (n-1)d

где an - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии.

В данном случае, a1 = 126, d = 9.

Подставим значения в формулу и решим уравнение:

207 = 126 + (n-1)(9)

207 - 126 = 9n - 9

81 = 9n - 9

90 = 9n

n = 10

Подставим значение n в формулу для нахождения суммы:

S10 = (10/2)(126 + 207) = 5(333) = 1665

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210, равна 1665.