На представленных графиках видно результаты работы агентства «Корона» по трём новым товарам для интернет-магазина в 2019 году — «тренажёр», «витамины», «фитнес-программа». На вертикальной оси — количество клиентов, сделавших повторный заказ этого товара, на горизонтальной — месяцы в году.

Теперь сгруппируем, вынеся общий множитель:

Вернемся к уравнению:
По условию, ищем решение в целых неотрицательных числах. Поскольку произведение двух скобок положительно - результат 102 - то обе скобки либо положительны, либо отрицательны. Но  всегда неотрицательно при любых неотрицательных значениях x и y; Поэтому 
Итак, и - делители числа 102.
x-y не может быть единицей, т.к в таком случае , но 101 - число простое.
Пусть (1). Тогда . Мы выразили x через y. С учетом этого перепишем: , откуда . Однако корень из дискриминанта - иррациональное число. Поэтому x-y≠2; (2) Пусть теперь Действуя аналогично, придем к уравнению , которое опять не имеет целых корней. (3) . Приходим к уравнению  и снова нет целых корней. Продолжая так далее, приходим к тому, что единственное целое решение при y=-102 или y=-51, x=0 или x = 51. Решений, удовлетворяющих условию, нет.

1) Ищете производную; 
2) Если f'(x) ≥ 0, функция не убывает данном промежутке, если f'(x) ≤ 0, то не возрастает. Эти промежутки и есть интервалы монотонности. 
Вот и все. Рассмотрим Ваш пример: 
f(x) = 3x² - 18x + 1. 
f'(x) = 6x - 18. 
6x - 18 ≥ 0, т.е. x ≥ 3 - функция не убывает. 
x ≤ 3 - функция не возрастает. 
(Можно также говорить возрастает/убывает, но тогда надо концы интервалов не включаются: например, здесь если x > 3, то функция возрастает. Т.к. на самих концах функция не возрастает/не убывает, эти точки или включаются в оба промежутка, или нет, в зависимости от того, как Вы говорите: не убывает/не возрастает или возрастает/убывает). 

ответ: функция не убывает: x ≥ 3, не возрастает: x ≤ 3. 

В данном случае с параболой можно было сделать проще. График этой параболы легко представить: это парабола ветвями вверх (a = 3 > 0), значит, до вершины функция убывает, после - возрастает. Ищем вершину: x₀ =  И ответ получаем точно такой же. Это объясняется тем, что, ища производную, мы нашли минимум функции (нулями производной может быть как минимум, так и максимум, надо смотреть на возрастание/убывание), который для параболы ветвями вверх и есть ее вершина. Таким образом, Вы можете смотреть по графику возрастание/убывание или искать с производной (это универсальнее). 
Надеюсь, что Если что, задавайте вопросы в комментарии.