Функция задана формулой f (x) = (x - 2^)2. Найдите значения a, зная, что f (a) = f (a - 4).

 Решение
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 1)      D (f) =R , т.к. f – многочлен. 2)       f(-х) = (-х)2  - 4(-х)  - 5 = х2 + 4х – 5   Функция поменяла знак частично, значит,  f не является ни чётной,  ни нечётной. 3)      Нули функции: При х = 0     у = - 5; (0;-5)  при у = 0      х2 - 4х – 5 = 0 По теореме, обратной теореме Виета х1 = -1; х2 = 5  (-1;0); (5;0). 4)      Найдём производную функции f: f ′(х) = 2х – 4 Найдём критические точки: f ′(х) = 0; 2х – 4 = 0; х = 2 – критическая точка   
                f ′(х)                      -                                           + f (х)                                                                                                2                                                            х
                                                   min               5) Найдём промежутки монотонности: Если функция возрастает, то   f ′(х) > 0 ;  2х – 4  > 0; х > 2. Значит,  на промежутке (2; ∞) функция возрастает. Если функция убывает, то     f ′(х) < 0; 2х – 4 < 0; х < 2. Значит, на промежутке (- ∞; 2)  функция убывает. 6)      Найдём координаты вершины параболы: Х =Y =  22  - 4*2 – 5 = -9 (2;-9) – координаты вершины параболы.  
7) Область изменения функции Е (у) = (-9; ∞)   8)      Построим график функции:   
                             у     
                                                   -1       2       5                                                    -5                                                х

Сделаем подстановку 2х = t и рассмотрим функцию у = cos(t).Поскольку функция  у = cos(t) является периодической с наименьшим положительным периодом, равным 2π, то выполняется следующее соотношение:cos(t) = cos(t + 2π).Возвращаясь к сделанной подстановке, получаем следующее соотношение:cos(2х) = cos(2х + 2π) = cos(2 * (х + π)).Следовательно, функция у = cos(2х) является периодической с периодом, равным π.Покажем, что данные период является наименьшим положительным.Допустим, существует положительный период данной функции, меньший чем π.Пусть этот период равен T.Тогда должно выполняться следующее соотношение:cos(2х) = cos(2(х + Т))  = cos(2х + 2Т) .Следовательно, число 2Т должно являться периодом функции у = cos(t).Однако такого не может быть, поскольку 2Т < 2π, а число 2π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(t).Следовательно, π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(2х).ответ:  наименьший положительный период функции у=cos2x равен π.