Сократить дробь 8 класс
тема квадратные корни​

1.
1)  х-8  <0
   11+х
Используем метод интервалов:
(х-8)(11+х)<0

{(x-8)(x+11)<0      {(x-8)(x+11)<0
{11+x≠0               {x≠-11

Отметим нули функции f(x)=(x-8)(x+11):
х=8      х=-11
    +           -             +
-11 8
           
x∈(-11; 8)

2)   13+х   >0
      2,5х
{2.5x(13+x)>0     {x(x+13)>0
{2.5x≠0              {x≠0

x(x+13)>0
x=0     x=-13
    +            -           +
-13 0
                 
x∈(-∞; -13)∨(0; ∞)

3) х+7 <0
   3-х
{(x+7)(3-x)<0   {-(x-3)(x+7)<0       {(x-3)(x+7)>0
{3-x≠0             {x≠3                    {x≠3

(x-3)(x+7)>0
x=3     x=-7
    +           -          +
-7 3
             
x∈(-∞; -7)∨(3; ∞)
 
4) 2х-4 >0
    x+2
{(2x-4)(x+2)>0     {2(x-2)(x+2)>0     {(x-2)(x+2)>0
{x+2≠0               {x≠-2                   {x≠-2

(x-2)(x+2)>0
x=2    x=-2
     +          -         +
-2 2
             
x∈(-∞; -2)∨(2; ∞)

2.
1) (х-1)(х+1)≤0
   х=1     х=-1
     +         -         +
 -1  1
           
х∈[-1; 1]
х={-1; 0; 1} - целые решения неравенства

2) -х²-5х+6>0
    x²+5x-6<0
Парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
х²+5х-6=0
Д=25+24=49
х₁=-5-7=-6
       2
х₂=-5+7=1
        2
     +       -          +
-6 1
           
x∈(-6; 1)
х={-5; -4; -3; -2; -1; 0}

3) 2+x-x²≥0
   -x²+x+2≥0
    x²-x-2≤0
  x²-x-2=0
 D=1+8=9
 x₁=1-3=-1
        2
  x₂=1+3=2
          2
      +         -         +
 -1 2
             
x∈[-1; 2]
х={-1; 0; 1; 2}

4) 3х²-7х+2<0
   3x²-7x+2=0
D=49-4*3*2=49-24=25
x₁=7-5 = 1 
       6     3
x₂= 12= 2
      6    
   +          -          +
1 2
         3  
x∈(¹/₃; 2)
х={1}

Объяснение:

1) ax^2 - (a+3)x + 2 = 0

При а=0 уравнение имеет 1 корень

-3x + 2 = 0; x = 2/3; не подходит.

При а не = 0 будет квадратное уравнение.

D = (a+3)^2 - 4*a*2 = a^2+6a+9-8a = a^2 - 2a + 9 > 0 при любом а не = 0.

Значит, уравнение имеет два корня.

Нам нужно, чтобы корни были разных знаков.

x1 = ((a+3) - √(a^2-2a+9))/2 < 0

x2 = ((a+3) + √(a^2-2a+9))/2 > 0

Умножаем на 2 корни

(a+3) - √(a^2-2a+9) < 0

(a+3) + √(a^2-2a+9) > 0

Отделяем корни

√(a^2-2a+9) > (a+3)

√(a^2-2a+9) > -(a+3)

Корень арифметический, то есть неотрицательный.

При а < -3 корень в 1 неравенстве больше отрицательного числа, что верно при любом а.

Корень во 2 неравенстве при этом больше положительного числа.

a^2-2a+9 > a^2+6a+9

8a < 0; a < 0

Решение а < -3

При а >= -3 и а не = 0 наоборот, корень во 2 неравенстве больше отрицательного числа, а в 1 неравенстве больше положительного.

Неравенство такое же

8a < 0; a < 0

Решение a € [-3; 0)

ответ а < 0

2) x^2 - 2(a-1)x + (2a+1) = 0

Это уравнение квадратное при любом а.

D/4 = (a-1)^2 - (2a+1) = a^2-2a+1-2a-1 = a^2-4a > 0

a(a-4) > 0

a € (-oo; 0) U (4; +oo)

x1 = (a-1) - √(a^2-4a) > 0

x2 = (a-1) + √(a^2-4a) > 0

Если 1 неравенство верно, то 2 неравенство верно автоматически.

√(a^2-4a) < (a-1)

a^2 -4a < a^2-2a+1

4a-2a+1 > 0

2a > -1

ответ: а € (-1/2; 0) U (4; +oo)