Ydx+(2√xy-x)dy=0 найти общее решение дифференциального уравнения​

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Итак, у нас есть уравнение Ydx + (2√xy - x)dy = 0. Наша цель - найти общее решение данного уравнения.

Шаг 1: Разделим уравнение на dx, чтобы получить удобную форму записи:
Y + (2√xy - x)dy/dx = 0.

Шаг 2: Теперь давайте переместим dy/dx в другую сторону:
(2√xy - x)dy/dx = -Y.

Шаг 3: Разделим обе части на (2√xy - x):
dy/dx = -Y / (2√xy - x).

Шаг 4: Теперь переместим dx в другую сторону:
dx = - (2√xy - x)/Y dy.

Шаг 5: Общее решение этого дифференциального уравнения можно найти, проинтегрировав обе части по соответствующим переменным. Давайте выполним этот шаг.

Интегрируем обе части уравнения по переменной dx:
∫ dx = ∫ - (2√xy - x)/Y dy.

Интегрирование левой части уравнения:
x = C + ∫ -(2√xy - x)/Y dy,

где C - произвольная постоянная.

Шаг 6: Теперь важно интегрировать правую часть уравнения. Заметим, что у нас есть составная функция √xy, поэтому нам нужно использовать подстановку.

Давайте представим √xy как одну переменную и обозначим ее как u. Тогда наше уравнение может быть переписано следующим образом:
∫ - (2u^2 - x)/Y du.

Шаг 7: Дифференцируем составную функцию √xy:
du = (1/2)(ydx + xdy).

Шаг 8: Подставим это значение обратно в наше уравнение:
(1/2)(ydx + xdy) = du.

Шаг 9: Заменим ydx на du - xdy:
(1/2)(du - xdy + xdy) = du.

Шаг 10: Упростим уравнение:
(1/2)du = du.

Шаг 11: Интегрируем обе части уравнения:
(1/2)u = u + C,

где C - произвольная постоянная.

Шаг 12: Раскроем скобки и выразим u:
(1/2)√xy = √xy + C.

Шаг 13: Теперь давайте вернемся к переменной x и перепишем уравнение:
(1/2)√xy = √xy + C.

Шаг 14: Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
√xy = 2√xy + 2C.

Шаг 15: Теперь выразим √xy:
√xy = -2C.

Шаг 16: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
xy = 4C^2.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения - xy = 4C^2, где C - произвольная постоянная.