1) По теореме косинусов 
; 
2) По теореме синусов 
; AB=5.
3) Из теоремы косинусов следует, что 
Пусть напротив стороны длиной 6 см лежит угол α, напротив отрезка длиной 8 см лежит угол 
, а напротив стороны длиной 11 см лежит угол β.
Тогда cosα=(8^2+11^2-6^2)/(2*8*11)= 149/176. Значит, α - острый угол.
cosγ=(6^2+11^2-8^2)/(2*6*11)= 93/132
Следовательно, -острый угол.
Аналогично 
<0 Значит, β - тупой угол.
Таким образом, треугольник - тупоугольный.
4) Пусть треугольник имеет стороны x, x+3 и 7, где угол между сторонами x и x+3 равен 60. По теореме косинусов 
. Выходит, что 
;
x=-8 или x=5. Значит, x=5. Тогда периметр треугольника равен 5+(5+3)+7=20 см.
5) Пусть a=4 см, b=13 см и c=15 см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. 
, где p-полупериметр треугольника. Тогда p=16 см и 
=24. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле 
. Тогда 
=1,5.
6) Пусть медиана к стороне длиной 4 см равна с. Достроим треугольник до параллелограмма с диагоналями равными 4 и 2*с.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Докажем этот факт. Ясно, что с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosα. Аналогично d^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(180α)=a^2+b^2+2*a*b*cosα. Сложим полученные равенства. Выходит, что c^2+d^2=2(a^2+b^2), ч.т.д.
Тогда имеем: 2*(5^2+7^2)=(2*c)^2+4^2
Решив это уравнение получим, что 
Возьмем 
Число 3 располагается ближе к числу 
, чем число 2, так как 
Рассмотрим числа 
и 
. Зарисуем схематично числа 3 и 2 и отметим их синусы. Обе эти величины положительны. Но поскольку число 3 расположено ближе к числу , то его синус меньше.
Число 3 располагается ближе к числу , чем число 4, так как 
Рассмотрим числа 
и 
. Зарисуем схематично числа 3 и 4 и отметим их косинусы. Числа 3 и 4 лежат в левой полуплоскости, поэтому их косинусы отрицательны. Поскольку число 3 расположено ближе к числу , то его косинус меньше.
Тогда итоговая цепочка принимает вид:
