19.12. Замените равносильным неравенством и решите неравенство: 3х + 2
x - 2
< -1.
1)
2)
х2 + х - 2
3) > 1;
+ r- 2
1
->1;
x + 5
-
2.
3 - 9.X > 2;
2х - 7
4)
5)
>l:
7х + 1
1 + 2x - 8
r? - 1
6)
> 1;
+ 4х + 3
5х + 1
5х + 3
< -1;
7)
8)
3х - 5
> 1;
<2;
9)
х2
3х - 4
+ х - 2
+ 2х - 8
3х + 1
< 3; 11)
5х + 3
10)
> -2;
12)
.<3.
х
4х + 3
-
-
2​

Угадываем корни 2 и - 2. Заметим, что

ОДЗ: Пытаемся доказать, что других корней нет.

1) уравнение принимает вид

Исследуем знак второй производной: f''(x)=0 - когда где

Поскольку a³≤a², b³≤b², причем при a∈(0,1); b∈(0,1) неравенства строгие, делаем вывод, что такое возможно только при a=1; b=0 или a=0; b=1, при прочих a и b, удовлетворяющих второму уравнению, сумма их кубов будет меньше 1, откуда вторая производная всюду неотрицательна, то есть функция вогнута. А поскольку других решений на промежутке нет.

2) уравнение принимает вид

 На этом участке подобное рассуждение не проходит; кроме x=2 точно есть корень слева от нуля, поскольку f(0)>6. Будем рассуждать иначе.

уравнение превращается в

Обе части положительны, смело возводим в квадрат (а можно было и к половинному углу свести):

6-6cos 2t-10sin 2t+2sin 2t cos 2t=0;

12sin² t-20 sin t cos t+4sin t cos t(cos² t-sin² t)=0; sin t=0 (⇒ a=0; b =2; x=2) или 3 sin t-5cos t+cos³ t-cos t sin² t=0;

(3sin  t-5cos t)(cos²t+sin²t)+cos³ t-cos t sin^2 t=0;

3sin³t-6sin²t cos t+3sin t cos²t-4cos³ t=0; очевидно cos t≠0; tg t=p;

3p³-6p²+3p-4=0; домножаем на 9 и замена 3p=q: q³-6q+9q-36=0;

(q-2)³-3(q-2)-34=0;

но

 

Вот этот корень мы и искали. Подставлять найденное p для выписывания  b,  а затем  x, сил уже не осталось.

Возможно, я где-то ошибся, но ошибку пока не вижу. Засим разрешите откланяться.      

С2+6с-40=0
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение с2+6с в следующем виде:
с2+6с=с2+2*3*с.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа с, а второе - удвоенное произведение с на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3в квадрате, так как

с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате = (с + 3)в квадрате.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
с2 + 6х - 40 = 0,прибавляя к ней и вычитая 3 в квадрате. Имеем:
с2 + 6с - 40 = с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате - 3в квадрате - 40 = (с + 3)в квадрате - 9 - 40 = (с + 3)в квадрате - 49=0
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(с + 3)в квадрате - 49 =0,
(х + 3)в квадрате = 49.
Следовательно, х + 3 - 7 = 0, х1 = -4, или х + 3 = -7, х2 = -10