Немножечко алгебры, за ваше время) 1. Изобразите в комплексной плоскости:
а) середину отрезка, соединяющего точки - 1 - 2i и - 3 - 4i;
б) множество точек z, удовлетворяющих условию |z|≤5.
2. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: 2 + 2√3 .
3. Решите уравнение 4х² + 4х + 5 = 0.
4. Представьте в алгебраической форме число 1+ 5ⅈ1 + +(1+2i)3.
5. Найдите z4, если z + 2 z̅ = 3 + i.
6. Решите уравнение z² - (4 + 3i)z + ( 1 + 5i) =

Уравнение четвёртой степени имеет вид:
   
Разделим обе части на коэффициент , получаем
             
где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.

Уравнения вида приводится уравнение четвёртой степени, у которых отсувствует третьей степени., поэтому нужно сделать замену переменных, тоесть
   , где  - коэффициент перед х^3 и 4 - произвольные вещественные числа

В нашем случае такое уравнение: 
Заменим , получаем
 

Получаем кубическое уравнение: 
В нашем случае: 
Подставляем и получаем уравнение
  
Разложим одночлены в сумму нескольких
   
Выносим общий множитель

Уравнение 16s²+288s+3343=0 решений не имеет, так как D<0

Таким образом для решения уравнения остается квадратное уравнение

Заменяем
  

Возвращаемся к замене
  

Окончательный ответ: 

1) Найдем такие значения х, при которых выражение под знаком модуля равно 0
х+2=0, х=-2
х-3=0, х=3

2) Нанесем на числовую прямую эти числа и рассмотрим промежутки (смотри вложение)

3) На промежутке [3;+∞) выражения под обеими модулями положительные. Модуль положительного числа равен этому же числу. Раскроем знак модуля
х+2+х-3=10,

{2х-1=10
{х≥3

{2х=11
{х≥3

{х=5,5
{х≥3

Число 5,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это первый корень

4) На промежутке (-2;3) выражение под первым модулем положительное, а под вторым — отрицательное. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Раскроем знак модуля
х+2-х+3=10

{0х+5=10
{-2<х<3

{0х=5
{-2<х<3

Это уравнение не имеет действительных корней

5) На промежутке (-∞;-2] выражения под обеими модулями отрицательные. Раскроем знак модуля
-х-2-х+3=10

{-2х+1=10
{х≤-2

{-2х=9
{х≤-2

{х=-4,5
{х≤-2

Число -4,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это второй корень

ответ: -4,5 и 5,5