Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
порядок числа Х равен 6
число Х имеет вид а * 10⁶ , где 1 ≤ а < 10
а) х² = ( а * 10⁶)² = а² * 10¹² (порядок 12)
в данном выражении 1² ≤ а² < 10²
1 ≤ а² < 100 ,
это значит, что а² может принимать значения не только от 1 до 10,
но и в промежутке [10; 100), что увеличивает порядок числа ещё на 1,
т.е. порядок будет 12 + 1 = 13.
Значит порядок числа х² может быть 12 или 13.
б) х⁵ = ( а * 10⁶)⁵ = а⁵ * 10³⁰ (порядок 30)
в данном выражении 1⁵ ≤ а⁵ < 10⁵
1 ≤ а⁵ < 10⁵ ,
это значит, что а² может принимать значения не только от 1 до 10,
но и в промежутке [10; 10⁵), что может увеличить порядок числа максимум ещё на 4, т.е. порядок максимум может быть 30 + 4 = 34
Значит порядок числа х² может быть равен 30, 31, 32, 33 или 34.
в) √х = х¹/² = ( а * 10⁶)¹/² = а¹/² * 10³
в данном выражении 1¹/² ≤ а¹/² < 10¹/²
1 ≤ а¹/² < 10¹/²
т.о. а¹/² удовлтворяет стандартной записи числа, т.е .лежит в промежутке
от 1 включительно до 10.
Значит порядок числа √х равен 3.
г) 1/х = х⁻¹ = ( а * 10⁶)⁻¹ = а⁻¹ * 10⁻⁶ = 1/а* 10⁻⁶ (порядок равен -6)
т.к. 1 ≤ а < 10 => 1/10 < 1/а ≤ 1 =>
это значит, что 1/а может принимать значения не только = 1,
но и в промежутке (1/10; 1], что может уменьшить порядок числа на 1.
Значит порядок числа 1/х может быть равен -6 или -7.
