Коэффициент корреляции. Решить задачу: Имеются следующие данные об уровне механизации работ X(%) и
производительности труда Y(т/ч) для 14 однотипных предприятий:
X 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76
Y 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48
Вычислить коэффициент корреляции и оценить наличие линейной связи
между переменными.

Для решения данной задачи необходимо выполнить ряд шагов.

1. Построение таблицы данных:
X: 32, 30, 36, 40, 41, 47, 56, 54, 60, 55, 61, 67, 69, 76
Y: 20, 24, 28, 30, 31, 33, 34, 37, 38, 40, 41, 43, 45, 48

2. Вычисление средних значений:
Среднее значение X (Xср) = (32 + 30 + 36 + 40 + 41 + 47 + 56 + 54 + 60 + 55 + 61 + 67 + 69 + 76) / 14 = 50.07
Среднее значение Y (Yср) = (20 + 24 + 28 + 30 + 31 + 33 + 34 + 37 + 38 + 40 + 41 + 43 + 45 + 48) / 14 = 34.14

3. Вычисление разностей отдельных значений от среднего:
ΔX = X - Xср
ΔY = Y - Yср
ΔX: -18.07, -20.07, -14.07, -10.07, -9.07, -3.07, 5.93, 3.93, 9.93, 4.93, 10.93, 16.93, 18.93, 25.93
ΔY: -14.14, -10.14, -6.14, -4.14, -3.14, -1.14, -0.14, 2.86, 3.86, 5.86, 6.86, 8.86, 10.86, 13.86

4. Вычисление произведений разностей:
ΔXY = ΔX * ΔY
ΔXY: 254.6542, 205.074, 86.3398, 41.5098, 28.5798, 3.5022, -0.8302, 11.2398, 38.4618, 28.6298, 75.0918, 150.0498, 205.2078, 359.8258

5. Вычисление суммы произведений разностей:
ΣΔXY = Σ(ΔX * ΔY) = 254.6542 + 205.074 + 86.3398 + 41.5098 + 28.5798 + 3.5022 - 0.8302 + 11.2398 + 38.4618 + 28.6298 + 75.0918 + 150.0498 + 205.2078 + 359.8258 = 1534.0572

6. Вычисление суммы квадратов разностей:
Σ(ΔX^2) = Σ(ΔX)^2 = (-18.07)^2 + (-20.07)^2 + (-14.07)^2 + (-10.07)^2 + (-9.07)^2 + (-3.07)^2 + 5.93^2 + 3.93^2 + 9.93^2 + 4.93^2 + 10.93^2 + 16.93^2 + 18.93^2 + 25.93^2 = 3331.7858

Σ(ΔY^2) = Σ(ΔY)^2 = (-14.14)^2 + (-10.14)^2 + (-6.14)^2 + (-4.14)^2 + (-3.14)^2 + (-1.14)^2 + (-0.14)^2 + 2.86^2 + 3.86^2 + 5.86^2 + 6.86^2 + 8.86^2 + 10.86^2 + 13.86^2 = 1844.7548

7. Вычисление коэффициента корреляции:
r = ΣΔXY / √(Σ(ΔX^2) * Σ(ΔY^2))

r = 1534.0572 / √(3331.7858 * 1844.7548) ≈ 0.9945

8. Оценка наличия линейной связи:
Коэффициент корреляции r принимает значения от -1 до 1. Чем ближе он к 1 (или -1), тем сильнее линейная связь между переменными.
В данном случае, полученный коэффициент корреляции r ≈ 0.9945, что близко к 1. Это говорит о наличии очень сильной положительной линейной связи между уровнем механизации работ и производительностью труда на предприятиях.