Раздел 12. Элементы Дифференциального исчисления. 66. Дифференцирование функций. Найти производные функций с решением как это делают в школе
4545. y = x + 3
4546. y = 6 - 9x
4547. y = 3x⁵
4548. y = 3x² - 5x + 9
4550. y = 1/x³
4551. y = x корень из x
4552. y = 3 + 2 корень из x
4553. y = y = корень из x⁵
4555. y = 1/ корень из x + x
4556. y = x/ корень из x + 5
4558. y = - x²/2 + 8/x + 9
4560. y = (2x-3)(5x+4)
4561. y = x sin x
4562. y = x² cos x
4565. y = x + 1 / x - 1
4566. y = x / x² + 1
4567. y = 1 + 2x / 1 - 5x
4568. y = sin x / cosx + 1
4569. y = 2x / 1 - x²
4570. y = 1/x + 1/x² + 1/x³
4572. y = x + 1/ корень из x
4568. y = корень из 1 + ²
4588. y = корень из sin x
4591. y = sin корень из 2x
4592. y = 1 / cos x
4594. y = sin² x
4595. y = cos x
4610. y = (x+1)²(x-1)²
4618. y = sin⁴ x + cos⁴ x
4619. y = sin⁶ x + cos⁶ x
4629. y = sin корень из 1 + x²

​

ответ: одна сторона прямоугольника ≈ 6,56 см; другая 2,44 см.

Объяснение: Пусть х см одна сторона прямоугольника, (полупериметр прямоугольника равен 18÷2=9 см.), тогда вторая сторона будет 9-х см, т.к. сумма двух сторон прямоугольника равны его полупериметру. По теореме Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы) составим уравнение:

х²+(9-х)²=7²

х²+9²-2*9*х+х²=7²

х²+81-18х+х²-49=0

2х²-18х-32=0

х²9х-16=0

D=17

х₁≈6,56 (см) одна, сторона прямоугольника; 9-6,56≈2,44 (см) другая сторона прямоугольника.

или

х₂≈2,44 (см) одна сторона прямоугольника; 9-2,44≈6,56 (см) другая сторона прямоугольника.

1. С графика квадратичной функции.

x² + 3x - 18 < 0.

Рассмотрим функцию у = х² + 3х - 18. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси Ох. Для этого решим уравнение х² + 3х - 18 =0:

D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9

х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,

х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.

Значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках, абсциссы которых равны -6 и 3.

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости (см. рис.) Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда х∈(-6; 3). Следовательно, множеством решений неравенства x² + 3x - 18 < 0 является промежуток (-6; 3).

2. Методом интервалов.

Метод интервалов применяется в случае, когда левая часть нервенства имеет многочлена, а правая равна 0. В этом случае находят корни многочлена, располагают их в порядке возрастания, наносят их на числовую ось, а затем справа налево располагают знаки "+" и "-", чередуя их, если корень некратный, и сохраняя знак, если корень кратный.

x² + 3x - 18 < 0

Разложим на множители многочлен x² + 3x - 18, для чего решим квадратное уравнение x² + 3x - 18 = 0:

D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9

х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,

х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.

Значит, x² + 3x - 18 = (х - 3)(х + 6).

Отметим на координатной прямой точки -6 и 3 и укажем знаки многочлена на каждом из полученных интервалов (см. рис.).

Множество решений неравенства: х∈(-6; 3).

ответ:(-6; 3).