1. Даны точки A (2; −1), C (3; 2) и D (−3; 1). Найдите: 1) координаты векторов ;

2) модули векторов ;

3) координаты вектора ;

4) скалярное произведение векторов ;

5) косинус угла между векторами .

2. Начертите треугольник ABC. Постройте векторы
1)АС+СВ, 2)ВА-ВС, 3)АС+АВ

3. Даны векторы и . При каком значении m векторы :а(3,-4), b(m, 9)
1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4, BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор через векторы

5. Найдите косинус угла между векторами , если .​

Хорошо, давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.

1. Даны точки A(2; -1), C(3; 2) и D(-3; 1).
1) Чтобы найти координаты вектора AC, нужно вычесть координаты точки A из координат точки C:
AC = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3).
Аналогично, найдём координаты вектора AD:
AD = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2).
2) Модуль вектора AC вычисляется по формуле: |AC| = √(x^2 + y^2), где x и y - координаты вектора.
|AC| = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10.
Аналогично, найдём модуль вектора AD:
|AD| = √((-5)^2 + 2^2) = √(25 + 4) = √29.
3) Чтобы найти координаты вектора CD, нужно вычесть координаты точки C из координат точки D:
CD = (-3 - 3; 1 - 2) = (-6; -1).
4) Скалярное произведение векторов AC и AD вычисляется по формуле: AC · AD = x1 * x2 + y1 * y2, где x1, y1 - координаты первого вектора, x2, y2 - координаты второго вектора.
AC · AD = 1 * (-5) + 3 * 2 = -5 + 6 = 1.
5) Косинус угла между векторами AC и AD вычисляется по формуле: cos(θ) = (AC · AD) / (|AC| * |AD|), где AC · AD - скалярное произведение векторов, |AC| и |AD| - модули векторов.
cos(θ) = 1 / (√10 * √29) = 1 / (√290) = √290 / 290.

2. Начертим треугольник ABC и построим векторы.
Для начала, нарисуем оси координат и отметим точки A(2; -1), C(3; 2) и B(?, ?) (координаты точки B не указаны в задании). По координатам векторов из предыдущего пункта, вектор AC будет иметь координаты (1; 3).
1) Для построения вектора АС + СВ нужно приложить вектоp АС к точке В. Зная координаты точек А, С и вектора АС, найдём координаты точки В.
B(x; y) = C(3; 2) + AC(1; 3) = (3 + 1; 2 + 3) = (4; 5).
Таким образом, вектор АС + СВ будет иметь координаты (4 - 2; 5 - (-1)) = (2; 6).
2) Для построения вектора ВА - ВС нужно сначала найти вектор ВС, а затем вычесть его из вектора ВА. Вектор ВС можно найти, вычтя координаты точки С из координат точки В.
ВС = B(4; 5) - C(3; 2) = (4 - 3; 5 - 2) = (1; 3).
Теперь вычтем вектор ВС из вектора ВА:
ВА - ВС = AC - ВС = (1; 3) - (1; 3) = (1 - 1; 3 - 3) = (0; 0).
3) Вектор АС + АВ можно выразить как сумму векторов AC и AB. Зная точки C(3; 2) и A(2; -1), найдём AB с помощью координат точек и координат вектора AC(1; 3).
AB = AC + ВС = (1; 3) + (1; 3) = (2; 6).
Таким образом, вектор АС + АB будет иметь координаты (2 - 2; 6 - (-1)) = (0; 7).

3. Даны векторы а(3, -4) и b(m, 9).
1) Для того чтобы векторы а и b были коллинеарны, они должны быть параллельны и иметь одинаковое направление или противоположное.
Параллельные векторы имеют пропорциональные координаты, то есть отношение x-координат векторов а и b должно быть равно отношению y-координат.
3 / m = -4 / 9.
Решим данное уравнение:
3 * 9 = -4 * m,
27 = -4m,
m = -27 / 4.
Таким образом, векторы а(3, -4) и b(-27 / 4, 9) будут коллинеарны.
2) Для того чтобы векторы а и b были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю.
а · b = 3 * m + (-4) * 9 = 3m - 36 = 0.
Решим данное уравнение:
3m = 36,
m = 36 / 3,
m = 12.
Таким образом, для того чтобы векторы а(3, -4) и b(12, 9) были перпендикулярны, значение m должно быть равно 12.

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4 и BK : KC = 2 : 3.
Чтобы выразить вектор DK через векторы AB и BC, заметим, что вектор DK можно представить как сумму векторов MA и AВ.
Зная, что AM : MB = 3 : 4, найдём вектор MA:
MA = (3 / (3 + 4)) * AB = (3 / 7) * AB.
Зная, что BK : KC = 2 : 3, найдём вектор ВС:
ВС = (2 / (2 + 3)) * BC = (2 / 5) * BC.
Итак, вектор DK можно выразить следующим образом:
DK = MA + AB = (3 / 7) * AB + AB = (3 / 7 + 7 / 7) * AB = (10 / 7) * AB.
Аналогично, вектор DK можно выразить через векторы ВС и BA:
DK = ВC + BA = (2 / 5) * BC + BA = (2 / 5 + 5 / 5) * BC = (7 / 5) * BC.

5. Найдите косинус угла между векторами a и b, если a · b = 0.
Косинус угла между векторами a и b вычисляется по формуле: cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|), где a · b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - модули векторов.
В данном случае a · b = 0, поэтому выражение для косинуса упрощается до: cos(θ) = 0 / (|a| * |b|) = 0.
Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен нулю. Это значит, что векторы a и b являются ортогональными (перпендикулярными).