Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома заданими лініями, ми повинні знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл від різниці функцій між цими лініями за відповідними межами.
Спочатку знайдемо точки перетину ліній y = -x^2 + 4 та y = x - 2. Прирівняємо їх:
-x^2 + 4 = x - 2
Перенесемо все до одного боку:
x^2 + x - 6 = 0
Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Факторизуємо його:
(x - 2)(x + 3) = 0
Отримуємо дві різні точки перетину: x = 2 та x = -3.
Тепер, для обчислення площі фігури, ми можемо вибрати межі інтегрування. Зауважимо, що лінія y = -x^2 + 4 знаходиться нижче лінії y = x - 2 на всьому своєму діапазоні, тому межі інтегрування будуть від -3 до 2.
Тепер обчислимо площу за до інтегралу:
Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
де f(x) = x - 2 і g(x) = -x^2 + 4
Площа = ∫[-3, 2] (x - 2 - (-x^2 + 4)) dx
Площа = ∫[-3, 2] (x + x^2 - 6) dx
Обчислимо інтеграл:
Площа = [1/2 * x^2 + 1/3 * x^3 - 6x] |[-3, 2]
Площа = (1/2 * (2)^2 + 1/3 * (2)^3 - 6 * 2) - (1/2 * (-3)^2 + 1/3 * (-3)^3 - 6 * (-3))
Площа = (2 + 8/3 - 12) - (9/2 - 27/3 + 18)
Площа = (6/3 + 8/3 - 12) - (9/2 - 9 + 18)
Площа = (14/3 - 12) - (9/2 + 9)
Площа = (14/3 - 36/3) - (18/2 + 18)
Площа = (-22/3) -(9 + 18)
Площа = -22/3 - 27
Площа = -22/3 - 81/3
Площа = -103/3
Таким чином, площа фігури обмеженої лініями y = -x^2 + 4 та y = x - 2 дорівнює -103/3.
