Воспользуемся леммой
Если m-простое число в данном случае m=37, то набор N={2,3,4,5...,35} всегда можно разбить на пары (a,b) произведении которых, будут давать a*b дает остаток 1 по модулю 37 (некий частный случай Теоремы Вильсона).
Преобразуем
1/2^2+2/3^2+3/4^2+...+35/36^2 = ((3*4*5*...*36)^2+2*(2*4*5*6*...*36)^2+...+35*(2*3*4*...*35)^2)/(36!)^2
По теореме Вильсона 36! = 36 по mod 37 значит докажем числитель делится на 37 (это и докажет что p делится на 37) так как q не делится на 37.
Воспользовавшись леммой, получаем что каждое слагаемое в числителе
(3*4*5*...*36)^2=(36*x1)^2 по mod 37
(2*4*5*6*...*36)^2=(36*x2)^2 по mod 37
(2*3*5*6*...*36)^2=(36*x3)^2 по mod 37
...
(2*3*4*5*...*35)^2=1 mod 37 (Теорема Вильсона)
Отметим что x1,x2,x3.,,,.x(m-3) чисел попарно различные, образующие очевидно множество {2,3,4,...m-2} тогда среди можно выбрать два элемента которые дадут сравнение x^2=y^2 mod 37 потому что (x-y)(x+y)=0 mod 37 , а множество можно разбить на соответственные суммы 2+35=3+34=...=18+19
p=36^2(1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2)+35
так как 36^2=1 по mod 37
Докажем что (1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2) = 2 mod 37
Так как выше было сказано что половина остатков равные, то выражение можно записать через остатки которые будут образовывать последовательную сумму (так как набор из множества {2,3,4,...,35} откуда
p=35*(2^2+3^2+4^2+...+17^2+18^2)
воспользуемся формулой что 1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Тогда p=35*(18*19*37/6-1) = 35*3*19*37 - 35 = 0-(37-2) = 2 mod 37
То есть p=36^2*2+35 = 1*2+35 = 0 mod 37
Решение системы уравнений х=18,75
у=15
Объяснение:
Решить систему уравнений методом подстановки.
(x+y)/15−(x−y)/3=1
(2x−y)/6−(3x+2y)/3=−25
Умножим первое уравнение на 15, а второе на 6, чтобы избавиться от дробного выражения:
x+y-5(x−y)=15
2x−y-2(3x+2y)= -150
Раскрываем скобки:
х+у-5х+5у=15
2х-у-6х-4у= -150
Приводим подобные члены:
6у-4х=15
-5у-4х= -150
Разделим второе уравнение на -5 для удобства вычислений:
6у-4х=15
у+0,8х=30
Выразим у во втором уравнении через х, подставим выражение в первое уравнение и вычислим х:
у=30-0,8х
6(30-0,8х)-4х=15
180-4,8х-4х=15
-8,8х=15-180
-8,8х= -165
х= -165/-8,8
х=18,75
Теперь значение х подставляем в любое из двух уравнений системы и вычисляем у:
6у-4х=15
6у=15+4*18,75
6у=90
у-90/6
у=15
Решение системы уравнений х=18,75
у=15
