Решите неравенство x^2-3x<0;
мне нужно до ночи сдать
​​

1) x⁴+9=10x²
    x⁴-10x²+9=0
 
   Замена переменной:
   x²=t      x⁴=t²
   t² -10t+9=0
   D=(-10)² - 4*9=100-36=64=8²
   t₁=(10-8)/2=1
   t₂=(10+8)/2=9

При t=1
x²=1
x₁=1
x₂= -1

При t=9
x²=9
x₁=3
x₂= -3

ответ: -3; -1; 1; 3.

2) x⁴-14x²=15
    x⁴-14x²-15=0

Замена переменной:
x²=t         x⁴=t²
t²-14t-15=0
D=(-14)² -4*(-15)=196+60=256= 16²
t₁=(14-16)/2=-1
t₂=(14+16)/2=15

При t= -1
x²= -1
нет решений

При t=15
x²=15
x₁=√15
x₂= -√15

ответ: -√15;  √15.

3) x⁴+x²=0
    x²(x²+1)=0
    x²=0          x²+1=0
    x=0           x²= -1
                     нет решений
ответ: 0.

4) x⁴-x²-6=0

Замена переменной:
x²=t              x⁴=t²
t²-t-6=0
D=(-1)² -4*(-6)=1+24=25=5²
t₁=(1-5)/2= -2
t₂=(1+5)/2=3

При t=-2
x²= -2
нет решений

При t=3
x²=3
x₁=√3
x₂= -√3

ответ: -√3;  √3.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: если a, b, c (в таком порядке) составляют арифметическую прогрессию, то 2b = a + c.

В задаче не указано, в каком порядке числа составляют арифметическую прогрессию, поэтому надо перебирать варианты.
1) Среднее число a + b.
Тогда 2(a + b) = a + (a + b^2)
2a + 2b = 2a + b^2
b^2 - 2b = 0
b = 0 или b = 2 - эти ответы не подходят, нужны не целые числа.
2) Среднее число a.
2a = (a + b) + (a + b^2)
b^2 + b = 0
b = 0 или b = -1 - опять не подходит.
3) Среднее число a + b^2.
2(a + b^2) = a + (a + b)
2b^2 - b = 0
b = 0 или b = 1/2 - подходит только b = 1/2.

ответ. b = 1/2