с четырьмя примерами (с вычислением интеграла и с нахождением площади, ограниченной линии) ​

1) Итак, t лежит во второй четверти. Из основного тригонометрического тождества sin^2a+cos^2a=1 => cos^2a=1-sin^2a => cosa=(+/-)корень из(1-sin^2a). Теперь к нашему примеру. Найдем косинус. Так как t лежит во второй четверти, где косинус отрицательный, перед корнем ставим знак минус: cost=-корень из(1-(8/17)^2)=-корень из(1-(64/289))=-корень из(225/289)=-15/17. 
Далее tgt=sint/cost=(8/17)/(-15/17)=-8/15 
ctg=1/tgt=cost/sint=-15/8 

2) ctgt=1/tgt=-35/12 
t лежит во второй и третьей четверти. 
Имеем формулу: 1+tg^2a=1/cos^2a => cos^2a=1/(1+tg^2a). Переходим к нашему примеру. 
cos^2t=1/(1+tg^2t)=1/(1+(-12/35)^2)=1/(1+144/1225)=1/(1369/1225)=1225/1369 
Т.е., получили, что cos^2t=1225/1369. Тогда cost=-корень из (1225/1369)=-35/37 
Перед корнем ставится знак минуса, потому что косинус во второй и третьей четверти отрецательный. Найдем синус из формулы tgt=sint/cost -12/35=sint/(-35/37) => sint=(-12/35)*(-35/37)=12/37 

4x^3-24x^2-4x+120=4(x+2)(x-3)(x+a)
4(x^3-6x^2-x+30)=4(x+2)(x-3)(x+a)
(x^3-6x^2-x+30)=(x+2)(x-3)(x+a)
раскроем первые две скобки справа от знака равенства
(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6
(x^3-6x^2-x+30)=(x^2-x-6)(x+a)
так как имеем равенство, то левая часть равенства имеют такие же два множителя-скобки
выделим слева такое же выражение, как и в первой скобке справа
(x^3-x^2-5x^2-6x+5x+30)=(x^2-x-6)(x+a)
здесь в левой части равенства -6x^2 расписали как -x^2-5x^2, а слагаемое -x как -6x+5x
((x^3-x^2-6x)-5x^2+5x+30)=(x^2-x-6)(x+a)
(x(x^2-x-6)-5(x^2-x-6))=(x^2-x-6)(x+a)
в левой части равенства как общий множитель выносим за скобку
(x^2-x-6)(x-5)=(x^2-x-6)(x+a) 
выражения в первых скобках слева и справа равны, следовательно равны и выражения во второй скобке слева и справа
x-5=x+a
a=-5