Разложим знаменатель на множители:
Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.
Интеграл примет вид:
Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:
Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:
Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:
Выразим из второго уравнения А:
Подставляем в первое и находим В:
Находим А:
Сумма принимает вид:
Значит, интеграл примет вид:
Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:
Интегрируем:
Упрощаем:
Применим свойство логарифмов:
1.
6sin^2x-3sinx*cosx-cos^2x=sin^2x+cos^2x
5sin^2x-3sinx*cosx-2cos^2x=0 /:cos^2x≠0
5tg^2x-3tgx-2=0
замена tgx=t
5t^2-3t-2=0
t=1
t=-2/5
обратная замена:
1) tgx=1
x=pi/4+pik, k∈Z
2) tgx=-2/5
x=-arctg(2/5)+pik, k∈Z
pi/4+pik, k∈Z
-arctg(2/5)+pik, k∈Z
2.
5sin^2x+3sinx*cosx-2cos^2x=3sin^2x+3cos^2x
2sin^2x+3sinx*cosx-5cos^2x=0 /:cos^2x≠0
2tg^2x+3tgx-5=0
замена tgx=t
2t^2+3t-5=0
t=1
t=-5/2
обратная замена:
1) tgx=1
x=pi/4+pik, k∈Z
2) tgx=-5/2
x=-arctg(5/2)+pik, k∈Z
pi/4+pik, k∈Z
-arctg(5/2)+pik, k∈Z
