f(x) = 2x – ln x
ОДЗ: х>0
f'(x) = 2 – 1/x
f'(x) = 0
2 – 1/x = 0
2х = 1
х = 0,5
разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах
- +
0 0,5
f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2 f'(x)<0 ⇒ f(x) убывает
f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1 f'(x)>0 ⇒ f(x) возрастает
Итак, при х∈(0; 0,5] f(x) убывает
при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает
В точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.
уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5 ≈ 1 - 0,693 ≈ 0,307
Объяснение: №2 а) (tgα+ctgα)(1+Cosα)(1 - Cosα)= (Sinα/Cosα +Cosα/Sinα)( 1-Cos²α) = (Sin²α+Cos²α) Sin²α /SinαCosα = Sin²α / SinαCosα = Sinα/Cosα = tgα б) (Сos³α+Sin³α)/Sinα + (Cos³α - Sin³α)/Cosα =(Cos³α Sinα + Sin⁴α +Cos⁴α - Sin³αCosα) /SinαCosα = (SiαCosα(Cos²α+Sin²α) + Sin⁴α +Cos⁴α ) /SinαCosα = (SinαCosα + Sin⁴α +Cos⁴α) / SinαCosα b) 1/(1+tg²α) + 1/(1+ctg²α)= 1 / (1/Cos²α) + 1/ (1/Sin²α) =Cos²α+Sin²α =1 г) Sin³α(1+ctgα) +Cos³α(1+tgα)= Sin³α+ Sin²αCosα+Cos³α +Sinα Cos²α= (Sin³α+ Sin²αCosα) +(Cos³α +Sinα Cos²α) =Sin²α(Sinα+Cosα) + Cos²α(Cosα+Sinα)= (Cosα+Sinα) (Sin²α+Cos²α)=(Cosα+Sinα)·1= Cosα+Sinα
