Находим частные производные:
∂z/∂x=6y-18x+4
∂z/∂y=6x-18y+4
Находим стационарные точки:
{∂z/∂x=0 ⇒ 6y-18x+4=0
{∂z/∂y=0 ⇒ 6x-18y+4 =0
Решаем систему:
{ 6y-18x+4=0 ( умножаем на 3)
{6x-18y+4 =0
{ 18y-54x+12=0
{6x-18y+4 =0
cкладываем
-48х+16=0
х=1/3
y=1/3
Стационарная точка (1/3;1/3) принадлежит области ( см. рис)
Находим вторые частные производные
∂²z/∂x²=-18
∂²z/∂y²=-18
∂²z/∂x∂y=6
A=-18; B=-18: C =6
Δ=AB-C²=(-18)·(-18) -6²>0
A < 0
(1/3;1/3) - точка максимума
z(1/3;1/3)=6·(1/3)·(1/3)-9·(1/3)²-9·(1/3)²+4·(1/3)+4·(1/3)=(2/3)-1-1+(8/3)=4/3 - наибольшее значение функции
На границе
При x=0
z=-9y²+4y
Квадратичная функция при 0 ≤y ≤2
z`=-18y+4
z`=0
y=4/18=2/9 - точка максимума
z(2/9)=-9·(2/9)²+4·(2/9)=(-4/9)+(8/9)=4/9 < 4/3
z(0)=0
z(2)=-9·2²+4·2=-28
При y=0
z=-9x²+4x
Квадратичная функция при 0 ≤x ≤1
z`=-18y+4
z`=0
y=4/18=2/9 - точка максимума
z(2/9)=-9·(2/9)²+4·(2/9)=(-4/9)+(8/9)=4/9 < 4/3
z(0)=0
z(1)=-9·1²+4·1=-5 > -28
При х=1
z=6y-9-9y²+4+4y, исследуем на [0;2], 0 ≤y≤2
z(y)=-9y²+10y-5 - квадратичная функция
z`=-18y+10
z`=0
-18y+10=0
y=10/18=5/9 - точка максимума
при y=5/9
z=-9·(5/9)²+10·(5/9)-5 =- (25/9)+(50/9) -5 =-20/9
Находим значения на концах
z(0)=-5
z(2)=-9·2²+10·2-5=-21 > -28
При y=2
z=12x-9x²-9·2²+4x+4·2, исследуем на [0;1], 0 ≤x≤1
z(y)=-9x²+16x-28 - квадратичная функция
z`=-18x+16
z`=0
-18x+16=0
x=16/18=8/9 - точка максимума
при x=8/9
z=-9·(8/9)²+16·(8/9)-28 =- (64/9)+(128/9) -28 >-28
Находим значения на концах
z(0)=-28
z(1)=-9·1²+16·1-28=-21 > -28
z(1/3;1/3)=4/3 - наибольшее значение функции в области
z(1;2) =-28 - наибольшее значение функции в области
Чтобы найти площадь нужно найти:
1 -пределы интегрирования
2 - какой из графиков проходит выше.
Для определения пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков функций y₁ = x² +1 и y₂ =3 - х.
Приравняем правые части этих функций
x² +1 = 3 - х
получим уравнение
x² + х - 2 = 0
D = 1 + 8 = 9
√D = 3
x₁ = (-1 - 3):2 = -2
x₂ = (-1 + 3):2 = 1
Итак, пределы интегрирования: нижний х = -2, верхний х = 1
Теперь рассмотрим неравенство
x² +1 < 3 - х
x² + х - 2 < 0
График функции f(x) = x² + х - 2 представляет собой квадратную параболу веточками вверх, поэтому решением неравенства x² + х - 2 < 0 будет интервал между корнями x₁ = -2 и x₂ = 1.
Таким образом, в интервале между пределами интегрирования график функции
y₂ =3 - х проходит выше графика функции y₁ = x² +1 . И площадь находится как определённый интеграл ∫(y₂ - y₁)dx в пределах от -2 до 1.
∫(y₂ - y₁)dx =
= ∫(3 - х )-(x² +1)dx =
= ∫(-x² - х + 2) dx =
= -x³/3 - х²/2 + 2х
Подставим пределы
S = -1³/3 - 1²/2 + 2·1 -(-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2·(-2) =
= -1/3 - 1/2 + 2 -( 8/3 - 2 - 4)=
= -1/3 - 1/2 + 2 - 8/3 + 2 + 4 =
= -9/3 - 1/2 + 8 =
= -3 - 0,5 + 8 =
= 4,5
ответ: S = 4,5
