Объяснение:
Даны касательные y₁ = 4·x и y₂ = -9·x к графику функции f(x)=x²+b·x+c.
Пусть прямая y₁ касается к графику функции f(x) в точке x₁, а прямая y₂ касается к графику функции f(x) в точке x₂, то есть:
f(x₁) = y₁(x₁), f'(x₁) = y₁'(x₁) , f(x₂) = y₂(x₂), f'(x₂) = y₂'(x₂) (1).
Так как y₁' = (4·x)' = 4, y₂' = (-9·x) = -9 и f'(x) = (x²+b·x+c)'=2·x+b, то подставляя в уравнения (1) получим 4 уравнения:
x₁²+b·x₁+c = 4·x₁ (2)
2·x₁+b = 4 (3)
x₂²+b·x₂+c = -9·x₂ (4)
2·x₂+b = -9 (5)
Из (3) получим x₁ = (4-b)/2 и подставим в (2):
((4-b)/2)²+b·((4-b)/2)+c = 4·(4-b)/2 или
4-2·b+b²/4+2·b-b²/2+с=8-2·b.
Упростив последнее равенство и получим:
c=4+b²/4-2·b. (6)
Из (5) получим x₂ = (-9-b)/2 и подставим в (4):
((-9-b)/2)²+b·((-9-b)/2)+c = -9·(-9-b)/2 или
81/4+9·b/2+b²/4-9·b/2-b²/2+с=81/2+9·b/2.
Упростив последнее равенство и получим:
c=81/4+b²/4+9·b/2. (7)
Приравниваем выражения (6) и (7):
4+b²/4-2·b = 81/4+b²/4+9·b/2 или
13·b/2 = 4-81/4.
Отсюда
b = (-65/4):(13/2) = -5/2.
Подставим последнее в (6):
c= 4+(-5/2)²/4-2·(-5/2) = 4+25/16+5 = 9+25/16 = 169/16.
