Заметим, что если в правой части добавить 1, то получим формулу квадрата суммы. Тогда, добавим 1 и в левой и в правой части:
Применим формулу разности квадратов:
Заметим, что если 
, то обе скобки, записанные в левой части, дают целые числа.
Разложим число 91 на простые множители:
Тогда, число 91 можно получить путем умножения либо чисел 7 и 13, либо чисел 1 и 91. Нужно учесть, что эти числа могут умножаться в разных порядках, а также то, что оба множителя могут поменять знак на противоположный.
Таким образом есть 8 упорядоченных пар целых чисел, в произведении дающих 91:
Но данные пары целых чисел соответствуют скобкам в произведении . Необходимо проверить, будут ли сами числа 
и 
в каждом из этих случаев целыми. Можно составить и решить 8 систем, но вместо этого мы составим одну систему в общем виде, решим ее опять же в общем виде и проанализируем результаты.
Рассмотрим систему:
Пусть 
и 
- целые числа. Решим систему методом сложения. Сложив уравнения, получим:
Заметим, что является целым числом, когда и имеют одинаковую четность.
Из второго уравнения выразим :
Аналогично, является целым числом, когда и имеют одинаковую четность.
Но все числа в наших парах:
имеют одинаковую четность. Значит, все 8 систем дадут по одному решению в целых числах. Таким образом, исходное уравнение имеет 8 решений в целых числах.
ответ: 8
ответ: 4) 0,2; 5) 2/3; 6) 7/288.
Объяснение:
4) Обозначим искомый интеграл через I. По формуле Ньютона-Лейбница, I=F(1)-F(0), где F(x) - первообразная для функции f(x)=(2*x-1)⁴*dx. Находим F(x)=∫f(x)*dx=∫(2*x-1)⁴*dx=1/2*∫(2*x-1)⁴*d(2*x-1)=1/10*(2*x-1)⁵+C, где C - произвольная постоянная. Отсюда I=1/10*(2*1-1)⁵+C-(1/10*(2*0-1)⁵+C)=0,1*1-0,1*(-1)=0,2.
5) I=F(7)-F(4), F(x)=∫dx/√(3*x+4)=1/3*d(3*x+4)/√(3*x+4)=2/3*√(3*x+4)+C, I=2/3*√25+C-(2/3*√16+C)=2/3*5-2/3*4=2/3.
6) I=F[ln(4)]-F[ln(3)], F(x)=∫e^(-2*x)*dx=-1/2*∫e^(-2*x)*d(-2*x)=-1/2*e^(-2*x)+C, I=-1/2*1/16+C-(-1/2*1/9+C)=-1/32+1/18=-9/288+16/288=7/288.
Замечание: так как при подстановке в выражение для первообразной пределов интегрирования произвольные постоянные взаимно уничтожаются, то их можно и не писать.
