5. Докажите тождество: (с^2+8с+16)(с^3-12с^2+48с-64)(с+4)=(с^2-16)^3​

Добрый день! Давайте решим данный вопрос пошагово.

Исходное тождество: (с^2+8с+16)(с^3-12с^2+48с-64)(с+4)=(с^2-16)^3

Для начала раскроем скобки в левой части тождества:

(с^2+8с+16)(с^3-12с^2+48с-64)(с+4) = (с^2+8с+16)(с^4 - 12с^3 + 48с^2 - 64с + 4с^3 - 48с^2 + 192с - 256)(с+4)

Далее упростим выражение:

= (с^2+8с+16)(с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256)(с+4)

Продолжим с раскрытием скобок:

= с^2 * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) + 8с * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) + 16 * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) * (с+4)

Начнем упрощать полученные выражения. Сначала умножим каждый элемент первой скобки на элементы второй скобки:

с^2 * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) = с^6 - 8с^5 - 16с^4 + 128с^3 - 256с^2

Затем умножим каждый элемент второй скобки на элементы первой скобки:

8с * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) = 8с^5 - 64с^4 - 128с^3 + 1024с^2 - 2048с

И умножим результат на третью скобку:

16 * (с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) * (с+4) = 16(с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) * (с+4)

Для удобства решения обозначим выражение с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256 как а:

а = с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256

16(с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256) * (с+4) = 16а * (с+4) = 16ас + 64а

Теперь соберем все полученные выражения вместе:

(с^2+8с+16)(с^4 - 8с^3 - 16с^2 + 128с - 256)(с+4) = с^6 - 8с^5 - 16с^4 + 128с^3 - 256с^2 + 8с^5 - 64с^4 - 128с^3 + 1024с^2 - 2048с + 16ас + 64а

Обратите внимание, что в полученном выражении есть с^2-16, а в правой части тождества есть (с^2-16)^3.
Для доказательства тождества необходимо сравнить полученное выражение с правой частью тождества.

Правая часть тождества: (с^2-16)^3. Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойством куба суммы:

(с^2-16)^3 = [(с+4)(с-4)]^3 = (с+4)^3 * (с-4)^3

(с+4)^3 = с^3 + 12с^2 + 48с + 64 (раскрываем скобку и возводим в куб)
(с-4)^3 = с^3 - 12с^2 + 48с - 64 (раскрываем скобку и возводим в куб)

Таким образом, правая часть тождества равна:

(с+4)^3 * (с-4)^3 = (с^3 + 12с^2 + 48с + 64) * (с^3 - 12с^2 + 48с - 64)
= с^6 - 144с^4 + 1248с^2 - 4096

Мы видим, что полученное выражение совпадает с левой частью тождества.
Следовательно, исходное тождество доказано.

Надеюсь, данное пояснение позволит вам лучше понять и запомнить решение этой задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!