План-конспект урока
Алгебра
8 класс
Тема: Доказательство неравенств
Цель:
Образовательная: формирование умений доказательства неравенств, формирование
Этапы занятия:
Организационный момент.
Актуализация опорных занятий.
Усвоение новых знаний и действий.
Первичное закрепление знаний и действий.
Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.
Подведение итогов занятий.
ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии.
2. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.
а) С неравенств сравниваются большие и малые величины;
b) Во С какого приема мы умеем доказывать неравенство вида aответ:
- Один из приемов доказательства неравенства ab) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);
c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.
“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:

Доказать: 
Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

Неотрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.
Значит,  – верное неравенство.
3.
a) Во Попробуем сформулировать другой прием.
ответ (учитель ответить на во Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:
(a-b)2  0, (a+b)2  0 или неравенства Коши  , при а0, b0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;
b) Докажем, что (a+b)(ab+1)  4ab, при а0, b0.
Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.
Используем очевидное неравенство Коши:

второго множителя.

Перемножим получившиеся неравенства:

с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.
Значит, доказательство (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0 можно выполнить другим Допустим, что при а0, b0 данное неравенство верно, т.е.:

Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:

Значит, (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0, что и требовалось доказать.
4. Докажем: 
Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.

Получили очевидное неравенство.
Значит, данное неравенство  верно.
Во Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)2  0?
ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)
Объяснение:
как то так, неуверен
1) скорость течения реки Vр = 2.4 км/ч.
2) 65 вопросов.
Объяснение:
1. v1 = v2; t=2 часа.
Путь S=vt.
По течению S1=2(v1+vp);
Против течения S=2(v2-vp).
v1=v2=v. S1-S2=9.6 км.
2(v+vp)-2(v-vp)=9.6;
2v+2vp-2v+2vp=9.6;
4vp=9.6 ;
vp=9.6:4;
vp= 2.4 км/ч.
***
2. Петя - за 60 мин - 13 вопросов;
Ваня за 60 мин - 15 вопросов
Скорость ответов Пети равна 13/60;
Скорость ответов Вани равна 15/60.
Обозначим количество вопросов теста через х.
Тогда Петя затратил на ответы х/(13/60) минут;
а Ваня затратил - х/(15/60) минут;
Разность во времени ответов равна 40 минут.
х/(13/60)-х/(15/60)=40;
60x/13-60х/15=40; (Наименьший общий знаменатель равен 13*15=195 ).
Дополнительные множители 15, 13 и 195;
900х - 780х =7800;
120х=7800;
х=7800/120;
х=65.
