Дана функция у(х)=3-х/2х+1 Найдите все х, для которых у′(х) <0

​

Для решения этой задачи нам нужно найти значения х, при которых производная функции у(х) будет меньше нуля.

Для начала найдем производную функции у(х):

у′(х) = (dу/dх) = (d(3-х/2х+1))/dх

Для упрощения работы с дробью, мы можем применить правило дифференцирования называемое правилом дробной производной:

для функции f(x)/g(x) производная равна (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]².

В нашем случае, у нас функция f(x) = 3 - x и g(x) = 2х + 1.

Подставим эти значения в формулу производной:

у′(х) = [(1 * (2х + 1)) - (3 - x) * (2)] / [(2х + 1)²].

Распишем подробнее:

у′(х) = (2х + 1 - 6 + 2x) / (2х + 1)²

у′(х) = (4х - 5) / (2х + 1)²

Теперь нам нужно найти значения х, которые делают у′(х) меньше нуля.

Уравнение у′(х) lt; 0 означает, что числитель (4x - 5) должен быть отрицательным, а знаменатель (2x + 1)² должен быть положительным (по теореме о знаке произведения двух чисел).

Чтобы найти значения х, у которых числитель отрицательный, нужно решить следующее неравенство:

4х - 5 < 0

Добавим 5 к обеим сторонам:

4х < 5

Разделим обе стороны на 4:

х < 5/4

Таким образом, все значения х, меньшие 5/4, сделают числитель отрицательным.

Теперь нужно найти значения х, при которых знаменатель положительный:

2х + 1 > 0

Вычтем 1 из обоих сторон:

2х > -1

Разделим обе стороны на 2:

х > -1/2

Таким образом, все значения х, больше -1/2, сделают знаменатель положительным.

Итак, чтобы у′(х) было меньше нуля, необходимо, чтобы х было меньше 5/4 и больше -1/2.

В конечном итоге, все значения х в интервале (-1/2, 5/4) будут удовлетворять условию у′(х) < 0.