Знайдіть суму перших семи членів геометричної прогресії 1, - 3, 9

Доказать можно методом математической индукции...
только есть нюанс -числа целые (а не натуральные)))
1) для четного целого n утверждение очевидно:
n = 2k, k∈Z          (2k)² - 5(2k) + 2 = 2*(2k² - 5k + 1)
2) для НЕчетного целого n:
n = 2k+1, k∈Z         
(2k+1)² - 5(2k+1) + 2 = 4k² + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 2*(2k² - 3k - 1)

для чисел, кратных трем, будет на один вариант больше представлений:
n = 3k (число кратно трем)
n = 3k+1 (число НЕ кратно трем --дает остаток 1)
n = 3k+2 (число НЕ кратно трем --дает остаток 2)
1)      (3k)³ + 2(3k) - 3 = 3*(9k³ + 2k - 1)
2)      (3k+1)³ + 2(3k+1) - 3 = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 - 3 =
= 3*(9k³ + 9k² + 3k)
3)      (3k+2)³ + 2(3k+2) - 3 = 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 - 3 =
= 3*(9k³ + 18k² + 14k + 3)

можно было доказывать и в первом и во втором случае кратность только для первых двух слагаемых, т.к. третьи слагаемые в обоих случаях кратны заданным числам... чуть короче бы получилось...

b∈(-∞; -8)∪(8; +∞)

Объяснение:

Квадратное уравнение вида a·x²+b·x+c=0 имеет два различных корня, если

D= b² - 4·a·c>0.

Дано квадратное уравнение 2·x²-b·x+8=0, где b - параметр. Это квадратное уравнение имеет два различных корня, если

D = (-b)² - 4·2·8>0.

Решаем последнее неравенство:

(-b)² - 4·2·8>0

b² - 8² >0

(b+8)·(b-8)>0

Применим метод интервалов и определим знак выражения:

(b+8)·(b-8)          +                               -                          +

                 (-8)0(8)>x

Тогда: b∈(-∞; -8)∪(8; +∞)