Упростите
Cos(7π/5+a)cos(2π/5+a)+sin(7π/5+a)sin(2π/5+a)

ответ:Вот ответ

Объяснение:

Хорошо, давай разложим это выражение по формуле косинуса суммы и используем свойства тригонометрических функций.

Из формулы косинуса суммы следует:

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Применим эту формулу к выражению:

Cos(7π/5+a)cos(2π/5+a)+sin(7π/5+a)sin(2π/5+a)

= cos(7π/5)cos(a)cos(2π/5)cos(a) - sin(7π/5)sin(a)sin(2π/5)sin(a)

Теперь рассмотрим свойства тригонометрических функций:

cos(π - x) = -cos(x)
sin(π - x) = sin(x)

Используя эти свойства, мы можем записать:

cos(7π/5) = -cos(π - 7π/5) = -cos(2π/5)
sin(7π/5) = sin(π - 7π/5) = sin(2π/5)

Таким образом, выражение примет вид:

- cos(2π/5)cos(a)cos(2π/5)cos(a) - sin(2π/5)sin(a)sin(2π/5)sin(a)

Теперь мы можем использовать формулу сокращенного умножения:

cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2
sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Применим эту формулу к выражению:

- ((1 + cos(4π/5))/2)cos^2(a) - ((1 - cos(4π/5))/2)sin^2(a)

Далее, заметим, что cos(4π/5) = cos(π - 4π/5) = cos(π/5)

Итак, упростим дальше:

- ((1 + cos(π/5))/2)cos^2(a) - ((1 - cos(π/5))/2)sin^2(a)

Последним шагом, мы можем использовать тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1:

- ((1 + cos(π/5))/2)(1 - sin^2(a)) - ((1 - cos(π/5))/2)sin^2(a)

Теперь, раскроем скобки и упростим:

- ((1 + cos(π/5))/2) - ((1 + cos(π/5))/2)sin^2(a) - ((1 - cos(π/5))/2)sin^2(a)

Теперь, сложим несколько слагаемых:

=( - ((1 + cos(π/5))/2) - + ((1 - cos(π/5))/2))sin^2(a)

Наконец, упростим дальше:

= ( - ((1 + cos(π/5)) + (1 - cos(π/5)))/2 )sin^2(a)

=( - (2 - cos(π/5) - cos(π/5))/2 )sin^2(a)

= ( - (2 - 2cos(π/5))/2 )sin^2(a)

= -sin^2(a)