35.4.Упростите выражение: 1) (2 + a^4)(a^8 – 2a^4 + 4)+a^10 (1 - a²); 2) k^5(k + 1)-(3 + k^2)(k^4 - 3k2 +9);
3) (25 - 5y^4 + y)(5 + y^4) -y^6(y6 - 1);
4) (z^6 + 7z^3 +49)(z^3 – 7+z(1 - z^8).​

Теорема Виета позволяет быстрее решать приведенные квадратные уравнения, не прибегая к объемному решения через дискриминант.

Приведенными квадратными уравнениями называются те квадратные уравнения, в которых коэффициент а=1 (для формулы ax²+bx+c=0)

То есть, общий вид этих уравнений таков: x²+bx+c=0

Согласно теореме, сумма решений уравнения равна противоположному значению коэффициента b, а произведение решений равно коэффициенту с:

x₁+x₂=-b

x₁*x₂=c

Решаются такие уравнения подбором чисел, которые подходили бы под оба условия теоремы. Например:

x²+6x+8=0

x₁+x₂=-6

x₁*x₂=8

Мы видим, что сумма решений отрицательна, значит как минимум одно из решений меньше нуля. В таком случае, произведение тоже было бы отрицательным, но это не так. Значит оба решения меньше нуля. Вспоминаем, какие числа при умножении дают 8:

-1 и -8 не подходит, так как -1+(-8)=-9, а не -6, как нужно нам

-2 и -4 подходит, так как -2+(-4)=-6, а -2*(-4)=8

Следовательно, решениями являются числа -2 и -6, так как соответствуют обоим условиям теоремы.

Нули функции - это значения аргументы, при котором функция равна нулю :
a) y= (x-1)/x²
(x-1)/x² = 0                    ОДЗ : x² ≠ 0
                                                x ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1
Нуль функции, это 1. Т.е., при x=1, y = 0
 ответ : x=1

2) y=(x²+1)/(x-1)
(x²+1)/(x-1)=0                ОДЗ : x-1 ≠ 0
                                                 x ≠ 1
x²+1 = 0
x² ≠ -1
 x² не может быть равен отрицательному числу, т.к. число в квадрате всегда будет положительным, значит :
x ∈ ∅
 Функция нулей не имеет.

3) y=(3x-1)(x+7)
(3x-1)(x+7) = 0
3x - 1 =0    и    x + 7 = 0
3x = 1 | : 3       x = -7
x = 1/3
 Нули функции x1 = 1/3, x2 = -7
Т.е., при x=1/3 и x=-7, y будет равен 0
 ответ : x1 = 1/3, x2 = -7