Решите уравнение комбинаторики от

Вирішіть рівнняння:

3 * (f(1) + f(2)) = 3 * (1 * 2 + 2 * 3) = 3 * 2 * (1 + 3) = 2 * 3 * 4
3 * (f(1) + f(2) + f(3)) = 2 * 3 * 4 + 3 * 3 * 4 = 3 * 4 * (2 + 3) = 3 * 4 * 5
3 * (f(1) + ... + f(4)) = 3 * 4 * 5 + 3 * 4 * 5 = 4 * 5 * 6

Докажем по индукции, что 3 * (f(1) + f(2) + ... + f(n)) = n * (n + 1) * (n + 2).

База индукции при n = 1 уже доказана.

Переход: пусть 3 * (f(1) + ... f(k - 1)) = (k - 1) * k * (k + 1). Докажем, что 3 * (f(1) + ... + f(k)) равно тому, чему нужно.

3 * (f(1) + f(2) + ... + f(k - 1) + f(k)) = (k - 1) * k * (k + 1) + 3 * k * (k + 1) = k (k + 1) (k - 1 + 3) = k (k + 1) (k + 2).

По приницпу математической индукции 3 * (f(1) + f(2) + ... + f(n)) = n * (n + 1) (n + 2) при всех n.

f(1) + f(2) + ... + f(33) = 33 * 34 * 35 / 3 = 13090

прощения, не туда написала.
Прикрепляю решение сюда.

При делении на 3 числа могут давать остатки 0,1,2, например, посмотрим с числами первого десятка:
3/3 остаток 0
4/3 остаток 1
5/3 остаток 2
6/3 остаток 0
Заметим, что остаток 2 имею числа через 3.
Значит найдем первое трехзначное число, которое дает остаток 2: 101.
Значит нам надо найти сумму всех чисел 101+104+107+...+998. Всего таких числе 300 ((998-101)/3+1).
Заменим все и представим в таком виде: x*3+2.
Получим: 33*3+2+34*3+2+...+332*3+2=
3*(33+34+...+332)+2*300=3*(33+...+332)+600.
Используем арифметическую прогрессию: S=(a1+a300)/2*300=54750.
Используем выведенную нами формулу:
54750*3+600=164850.