(cos π/12 - sin π/12) * (cos^3 π/12 + sin^3 π/12)=
использьвав формулу суммы кубов, получим
=(cos π/12 - sin π/12) * (cos π/12 + sin π/12)*(cos^2 π/12 + sin^2 π/12-cos π/12 * sin π/12) =
использовав формулу квадрата разности и основное тригонометрическое тождество и формулу двойного угла для синуса, получим
=(cos^2 π/12 - sin^2 π/12) * (1-1/2*sin π/ 6))
=использовав формулу двойного угла для косинуса, получим=
(cos π/ 6)) (1-1/2*sin π/ 6))=
использовав табличные значения косинуса и синуса π/ 6, получим =
корень(3)/2*(1-1/2*1/2)=3*корень(3)/8
ответ: 3*корень(3)/8
ctg (a) - ctg (2a)=
использовав формулу для котангенса двойного угла, получим
=ctg (a) - (ctg^ 2 (a) -1)/(2 *ctg (a))=
сведя к общему знаметелю=
=(ctg^2 (a) - (ctg^ 2 (a) -1)) / (2* ctg (a))=
раскрывая скобки
=(2*ctg^2 (a) - ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
упрощая подобные
раскрывая скобки
=(ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
=домножая на sin^2 (a) числитель и знаменатель, и использовав одно из основных тригонометрчиеских соотношений, получим
=(cos^ 2 (a) +sin^2 (a))) /(2 *cos (a)*sin a)=
использовав основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим=
= 1/(sin 2a),
а значит данное равенство является тождеством (левую часть путем преобрзования выражений привели в вид выражения в правой части).
Доказано
