И почему в первом ответ не 1/(под корнем а) + 3, а 1/3

Доказать можно методом математической индукции...
только есть нюанс -числа целые (а не натуральные)))
1) для четного целого n утверждение очевидно:
n = 2k, k∈Z          (2k)² - 5(2k) + 2 = 2*(2k² - 5k + 1)
2) для НЕчетного целого n:
n = 2k+1, k∈Z         
(2k+1)² - 5(2k+1) + 2 = 4k² + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 2*(2k² - 3k - 1)

для чисел, кратных трем, будет на один вариант больше представлений:
n = 3k (число кратно трем)
n = 3k+1 (число НЕ кратно трем --дает остаток 1)
n = 3k+2 (число НЕ кратно трем --дает остаток 2)
1)      (3k)³ + 2(3k) - 3 = 3*(9k³ + 2k - 1)
2)      (3k+1)³ + 2(3k+1) - 3 = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 - 3 =
= 3*(9k³ + 9k² + 3k)
3)      (3k+2)³ + 2(3k+2) - 3 = 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 - 3 =
= 3*(9k³ + 18k² + 14k + 3)

можно было доказывать и в первом и во втором случае кратность только для первых двух слагаемых, т.к. третьи слагаемые в обоих случаях кратны заданным числам... чуть короче бы получилось...

Событие A₁- " первая деталь имеет дефект"

Противоположное ему событие:

Â₁- " первая деталь не имеет дефекта"

Событие A₂- " вторая  деталь имеет дефект"

Противоположное ему событие:

Â₂- " вторая  деталь не имеет дефекта"

и так далее

до (N+3) cобытия

A(N+3)-" N+3-я деталь имеет дефект"

Â(N+3)-" N+3-я деталь  не  имеет дефекта"

a) A-" ни одна из деталей не имеет дефекта

A=Â₁∩Â₂·∩..∩Â(N+3)

б)В-"по крайней  мере  одна из деталей  имеет дефект"

B=(A₁∩Â₂·∩..∩Â(N+3)∪Â₁∩А₂∩..∩Â(N+3)∪...∪Â₁∩Â₂∩..∩А(N+3))∪

∪(A₁∩А₂∩..∩Â(N+3)∪Â₁∩А₂∩А₃∩..∩Â(N+3)∪...∪Â₁∩Â₂...∩А(N+2)∩А(N+3))∪

∪...(A₁∩A₂·∩..∩A(N+3))

в)C-" только одна  из деталей  имеет дефект"

С=A₁∩Â₂·∩..∩Â(N+3)∪Â₁∩А₂∩..∩Â(N+3)∪...∪Â₁∩Â₂∩..∩А(N+3)

г) D-"не более двух деталей  имеют дефект

Значит две, одна или ни одной:

D=(A₁∩А₂∩..∩Â(N+3)∪Â₁∩А₂∩А₃∩..∩Â(N+3)∪...∪Â₁∩Â₂...∩А(N+2)∩А(N+3))∪

(Это две1 и 2; 1и 3;  ...  предпоследняя и последняя)

∪(A₁∩Â₂·∩..∩Â(N+3)∪Â₁∩А₂∩..∩Â(N+3)∪...∪Â₁∩Â₂∩..∩А(N+3))∪

(Это одна;  1 или вторая 2или ... последняя)

∪(Â₁∩Â₂·∩..∩Â(N+3))

(это событие А - ни одна  из  деталь не имеет дефекта, все без дефекта)