Зачет №3. Квадратные уравнения Вариант 1. Обязательная часть. №1. Определите, имеет ли корни уравнение, и если имеет, то сколько: 3х2 – 11х + 7 = 0. Решите уравнение (2 – 5): №2. 4х2 -20 = 0 №3. 2х + 8х2 = 0 №4. 2х2 -7х + 6 = 0 №5. х2 –х = 2х – 5 №6. Площадь прямоугольника 96 см2. Найдите его стороны, если одна из них на 4 см меньше другой. №7. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа1 и 3. Дополнительная часть. №8. Решите уравнение: а) х4 + 8х2 – 9 = 0 б) х3 - 7х2 + 10х = 0 №9. В уравнении х2 + pх – 18 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p. №10. Найдите все целые значения р, при которых уравнение х2 – рх - 10 = 0 имеет целые корни. №11. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника. №12. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.

Здравствуйте! Давайте решим по очереди задачи, которые вы предложили.

№1. Уравнение 3х^2 – 11х + 7 = 0. Чтобы определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. Здесь a = 3, b = -11 и c = 7. Подставим значения в формулу и вычислим D: D = (-11)^2 - 4 * 3 * 7 = 121 - 84 = 37. Так как D положительный, значит, уравнение имеет два корня.

Теперь решим само уравнение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a. Подставим значения в формулу и вычислим корни: x1 = (-(-11) + √37) / (2 * 3) = (11 + √37) / 6 и x2 = (-(-11) - √37) / (2 * 3) = (11 - √37) / 6.

Ответ: Уравнение имеет два корня: x1 = (11 + √37) / 6 и x2 = (11 - √37) / 6.

№2. Уравнение 4х^2 - 20 = 0. Данное уравнение можно привести к виду х^2 = 5, разделив обе части на 4. Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: х = ± √5. Итак, уравнение имеет два корня: х = √5 и х = -√5.

Ответ: Уравнение имеет два корня: х = √5 и х = -√5.

№3. Уравнение 2х + 8х^2 = 0. Вынесем общий множитель перед скобкой: 2x(1 + 4x) = 0. Отсюда получаем, что одно из возможных решений — x = 0, а другое — 1 + 4x = 0. Найдем второй корень, решив это линейное уравнение: 1 + 4x = 0, x = -1/4.

Ответ: Уравнение имеет два корня: x = 0 и x = -1/4.

№4. Уравнение 2x^2 - 7x + 6 = 0. Чтобы определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. Здесь a = 2, b = -7 и c = 6. Подставим значения в формулу и вычислим D: D = (-7)^2 - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1. Так как D положительный, значит, уравнение имеет два корня.

Теперь решим само уравнение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a. Подставим значения в формулу и вычислим корни: x1 = (-(-7) + √1) / (2 * 2) = (7 + 1) / 4 = 8 / 4 = 2 и x2 = (-(-7) - √1) / (2 * 2) = (7 - 1) / 4 = 6 / 4 = 3/2.

Ответ: Уравнение имеет два корня: x1 = 2 и x2 = 3/2.

№5. Уравнение x^2 - x = 2x - 5. Перенесем все члены в левую часть уравнения: x^2 - 3x + 5 = 0. Чтобы определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. Здесь a = 1, b = -3 и c = 5. Подставим значения в формулу и вычислим D: D = (-3)^2 - 4 * 1 * 5 = 9 - 20 = -11. Так как D отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

№6. Площадь прямоугольника 96 см^2. Пусть одна из сторон прямоугольника равна х см. Тогда вторая сторона будет равна (х + 4) см, так как она на 4 см больше первой. Уравнение для площади прямоугольника можно записать следующим образом: х * (х + 4) = 96. Раскроем скобки: х^2 + 4х = 96. Перенесем все члены в левую часть уравнения: х^2 + 4х - 96 = 0. Теперь решим это квадратное уравнение.