Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями функций у = х^2, у = 0 и х = 2 построим сначала графики этих функций. График функции у = 0 - прямая, которая задаёт ось ОХ; график функции х = 2 - прямая, параллельная оси ОУ и пересекающая ось ОХ в точке х =2. График функции у = х^2 - парабола, построена поточечно путём подбора значений координаты х и вычислением значения функции у в каждой такой точке. То есть:
1) х = -4, у = (-4)^2 = 16, на графике откладываем точки х = -4 и у = 16;
2) х = -3, у = (-3)^2 = 9, на графике откладываем точки х = -3 и у = 9;
3)х = -2, у = (-2)^2 = 4, на графике откладываем точки х = -2 и у = 4;
4)х = -1, у = (-1)^2 = 1, на графике откладываем точки х = -1 и у = 1;
5)х = 0, у = 0, на графике откладываем точки х = 0 и у = 0;
6)х = 4, у = 4^2 = 16, на графике откладываем точки х = 4 и у = 16;
7) х = 3, у = 3^2 = 9, на графике откладываем точки х = 3 и у = 9;
8)х = 2, у = 2^2 = 4, на графике откладываем точки х = 2 и у = 4;
9)х = 1, у = 1^2 = 1, на графике откладываем точки х = 1 и у = 0.
Заштрихованная на графике область является фигурой, площадь которой необходимо вычислить (площадь криволинейной трапеции). Вычисляется она по формуле определенного интеграла S = ∫f(x) dx - g(x) dx (верхний предел b, нижний предел a). Найдём верхний и нижний пределы интеграла. Для этого воспользуемся построенным графиком. Определим, на каком промежутке функция у = х^2 находится выше оси ОХ (так как значение площади не может быть числом отрицательным). Это отрезок [0;2], значит верхним пределом интеграла будет два (b = 2), нижним ноль (а = 0).
Вычислим определенный интеграл функции у = х^2 с пределами 2 и 0, значение которого и будет равно значению площади:
S = ∫(х^2)dx (верхний предел 2, нижний 0).
Интегрируем с формулы интегрирования:
∫х^ n dx = x^(n+1) / n+1,
и получаем выражение х^3/3.
Далее воспользуемся формулой Ньютона - Лейбница и получим значение площади, равное 8/3 или ~ 2,67 кв.ед.
ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2, х = 2, у= 0 равна 8/3 или ~ 2,67 кв.единиц.
Подробнее - на -
Примем
V1 = 15 км/час - скорость моторной лодки
V2 - скорость течения реки, км/час
t = 2 час - время лодки в пути
S1 = 17 км - путь лодки по течению реки
S2 = 13 км - путь лодки против течения реки
тогда
S=V*t
t=S1/(V1+V2)+S2/(V1-V2)
2=17/(15+V2)+13/(15-V2)
[17*(15-V2)+13*(15+V2)]/[(15+V2)(15-V2)]=2*(15+V2)(15-V2)]
[17*(15-V2)+13*(15+V2)-2*(15+V2)(15-V2)]/[(15+V2)(15-V2)]=0
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю
17*(15-V2)+13*(15+V2)-2*(15+V2)(15-V2)=0
255-17*V2+195+13*V2-2*(225-15*V2+15*V2-V2^2)=0
255-17*V2+195+13*V2-2*(225-V2^2)=0
2*V2^2-4*V2=0
Решаем при дискриминанта (см. ссылку) и получаем:
V2(1)=0 км/час
V2(2)=2 км/час
Для нашего случае подходит только V2=2 км/час, т.к. течение воды существует, а значит скорость больше нуля
Проверим:
2=17/(15+2)+13/(15-2)
2=1+1
2=2
Решение истино
ответ: течение реки составляет 2 км/час
