1. -2;
2. 3.
Объяснение:
1.Sn=6n-n^2
a1 = S1 = 6•1 - 1^2 = 5;
a1+a2 = S2 = 6•2 - 2^2 = 12 - 4 = 8;
a2 = S2 - S1 = 8 - 5 = 3.
Найдём d:
d = a2 - a3 = 3 - 5 = -2.
2. Sn=6n-n^2
Рассмотрим квадратичную функцию
у = 6х - х^2.
Графиком функции является парабола
у = - х^2 + 6х
Ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Найдём её координаты:
х вершины = -b/(2a) = -6/(-2) = 3.
y вершины = - 3^2 +6•3 = -9+18 = 9.
Наибольшего значения 9 функция у = - х^2 + 6х достигает при х = 3.
Так как 3 - натуральное число, то и наша функция Sn=6n-n^2, определённая только для натуральных n, достигает наибольшего значения 9 при n = 3.
Необходимо взять три первых члена прогрессии, чтобы их сумма была наибольшей и равной 9.
ответить на второй вопрос можно и по-прежнему другому:
Sn=6n-n^2
- n^2 + 6n = - (n^2 - 6n) = - (n^2 -2•n•3 + 9 - 9) = - ((n-3)^2 -9) = - (n-3)^2 + 9.
Так как слагаемое 9 постоянно, a - (n-3)^2 неположительно для любого n, то наибольшей сумма будет тогда, когда наибольшим будет первое слагаемое, т.е. когда - (n-3)^2 = 0, при n = 3.
В этом случае Sn = - (n-3)^2 + 9 = 0 + 9 = 9.
Уравнение имеет решение, если sinx - cosx ≥ 0; √2sin(x - π/4) ≥ 0; sin(x - π/4) ≥ 0; 2πn ≤ x - π/4 ≤ π + 2πn, n∈Z; π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn, n∈Z.
1,5 + cos²x = (sinx - cosx)²;
1,5 + cos²x = sin²x + cos²x - 2sinxcosx;
1,5 + cos²x = 1 - 2sinxcosx;
cos²x + 2sinxcosx +0,5 = 0;
2cos²x + 4sinxcosx + 1 = 0| : sin²x;
2ctg²x + 4ctgx + 1/sin²x = 0;
2ctg²x + 4ctgx + 1 + ctg²x = 0;
3ctg²x + 4ctgx + 1 = 0;
Замена: ctgx = t/3
t² + 4t + 3 = 0;
t₁ = -1; t₂ = -3
Обратная замена:
ctgx = -1 или ctgx = -1/3
x₁ = 3π/4 + πn, n∈Z; x₂ = arcсtg(-1/3) + πn, n∈Z.
Данное уравнение удовлетворяют значения х₁ = 3π/4 + 2πn, n∈Z; x₂ = arcсtg(-1/3) + 2πn = -arcсtg(1/3) + π(2n+1), n∈Z.
ответ: 3π/4 + 2πn, n∈Z; -arcctg(1/3) + π(2n + 1), n∈Z.
