Sin7П/4×cos7П/6×tg5П/3×ctg4П/3​

Давайте разделим данный выражение на несколько частей, чтобы проще решать задачу:

1. Распишем значение sin(7π/4):

sin(7π/4) можно переписать в виде sin(π/4 + π), поскольку 7π/4 = π/4 + π

Таким образом, получаем: sin(7π/4) = sin(π/4 + π)

Используя формулу синуса суммы углов, получаем: sin(π/4 + π) = sin(π/4) * cos(π) + cos(π/4) * sin(π)

Значение sin(π) равно нулю, а cos(π) равно -1, поэтому: sin(π/4 + π) = sin(π/4) * (-1) + cos(π/4) * 0

Учитывая, что sin(π/4) равно √2/2, получаем: sin(7π/4) = (√2/2) * (-1) + √2/2 * 0 = -√2/2

2. Теперь рассмотрим значение cos(7π/6):

cos(7π/6) можно переписать в виде cos(π/6 + π), поскольку 7π/6 = π/6 + π

Используя формулу косинуса суммы углов, получаем: cos(π/6 + π) = cos(π/6) * cos(π) - sin(π/6) * sin(π)

Значение cos(π) равно -1, а sin(π) равно 0, поэтому: cos(π/6 + π) = cos(π/6) * (-1) - sin(π/6) * 0

Учитывая, что cos(π/6) равно √3/2, получаем: cos(7π/6) = (√3/2) * (-1) - 0 = -√3/2

3. Преобразуем значение tg(5π/3):

Тангенс равен отношению синуса косинусу: tg(5π/3) = sin(5π/3) / cos(5π/3)

Значение sin(5π/3) можно найти, используя формулу синуса тройного угла: sin(5π/3) = sin(π/3 + π)

Используя формулу синуса суммы углов, получаем: sin(π/3 + π) = sin(π/3) * cos(π) + cos(π/3) * sin(π)

Значение sin(π) равно 0, а cos(π) равно -1, поэтому: sin(π/3 + π) = sin(π/3) * (-1) + cos(π/3) * 0

Учитывая, что sin(π/3) равно √3/2, получаем: sin(5π/3) = (√3/2) * (-1) + 0 = -√3/2

Значение cos(5π/3) можно найти, используя формулу синуса тройного угла: cos(5π/3) = cos(π/3 + π)

Используя формулу косинуса суммы углов, получаем: cos(π/3 + π) = cos(π/3) * cos(π) - sin(π/3) * sin(π)

Значение cos(π) равно -1, а sin(π) равно 0, поэтому: cos(π/3 + π) = cos(π/3) * (-1) - sin(π/3) * 0

Учитывая, что cos(π/3) равно 1/2, получаем: cos(5π/3) = (1/2) * (-1) - 0 = -1/2

Теперь можем вычислить значение выражения в целом:

sin(7π/4) * cos(7π/6) * tg(5π/3) * ctg(4π/3)

=(-√2/2) * (-√3/2) * (-√3/2) * (1/(-√3))

Так как (-√2/2) * (-√3/2) равно √6/4, а (1/(-√3)) равно -√3/3, получаем:

=(-√6/4) * (-√3/2) * (-√3/2) * (-√3/3)

=(-√6/4) * (-√3/2) * (-√3/2) * (-√3/3)

=(-√6/4) * (-1/2) * (-1/2) * (-1/√3)

Можем сократить значения:

=(√6/4) * (1/2) * (1/2) * (1/√3)

=(√6 * 1 * 1) / (4 * 2 * 2 * √3)

Получаем ответ: (√6 / 16√3)