Рассмотрим криволинейную фигуру, ограниченную сверху кривой y=e^x, снизу осью Ox, слева прямой x=0, справа прямой x=1. Найдите объём тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy.

Cos5°*cos55°*cos65° 
* *  cosα*cosβ =(1/2)(cos(α+β) +cos(α -β))_преобраз.  произведен.  в сумму * *
* * * cos(180° -α) = - cosα _формула приведения * * *
* * * cosα/2 = ± √(1+cosα)/2  _формула половинного угла * * *

cos5°cos55°cos65°  =(1/2)(cos60° +cos50°)cos65° =(1/2)(1/2+cos50°)cos65°
=(1/4)cos65° +(1/2)cos50°cos65° =(1/4)cos65° +(1/4)(cos115°+cos15°) =
(1/4)(cos65° +cos115°+cos15°) =(1/4)(cos65° +cos(180°- 65°) +cos15°) =
(1/4)(cos65° -cos 65° +cos15°) =(1/4)cos15°  =(1/4)√((1+cos30°)/2)  =
(1/4)√((1+√3/2)/2)=(1/4)√((2+√3)/4) =(1/8)√(2+√3)  =

(1/8√2)√(4+2√3) =(2+√3)/8√2 =√2(2+√3)/16.

А) cos15 cos75 = cos15  cos(90-15) = cos15 sin15 = 2sin15 cos15 =
                                                                                          2
= sin(2*15) = sin30 =  1   = 1/4
        2             2         2*2

б) (cos(π/8) + sin(π/8)) (cos³(π/8) - sin³(π/8)) =
 =(cos(π/8) + sin(π/8))(cos(π/8) - sin(π/8))(cos²(π/8)+cos(π/8) *sin(π/8)+sin²(π/8))= =(cos²(π/8) - sin²(π/8)) (1 + 2sin(π/8) cos(π/8)) =
                                                                                     2
= cos(2 * (π/8)) * (1 + sin(2 * (π/8))) =
                                         2
= cos(π/4) * (1  + sin(π/4)) =
                               2
= √2 ( 1 + √2 ) = √2 (4 + √2) = 4√2 + 2   = 2 (2√2 + 1) =  2√2 +1
     2          2*2     2          4         2*4             2*4                  4

в) 1+tgα tg2α =  1     
                       cos2α
1+tgα tg2α = 1 + sinα * sin2α =  1 + sinα * 2sinα cosα  =
                          cosα   cos2α          cosα       cos2α
= 1 + 2sin²α = cos2α + 2sin²α = cos²α - sin²α + 2sin²α =
          cos2α           cos2α                     cos2α
= cos²α + sin²α =   1    
         cos2α         cos2α
   
    1        =   1      
  cos2α      cos2α
Что и требовалось доказать.