5.101. Представьте выражение в виде многочлена: (4m+31​n)3
( \frac{2}{3}x-3y)(32​x−3y)
( \frac{1}{3}a+ \frac{1}{2}b)^{3}(31​a+21​b)3
( \frac{1}{6}x+2y)^{3}(61​x+2y)3
(0,2x-5y)^{3}(0,2x−5y)3
(3a-0,6b)^{3}(3a−0,6b)3
(0,1m-4n)^{3}(0,1m−4n)3
(0,5a+0,16)^{3}(0,5a+0,16)3​

Добрый день!

Давайте рассмотрим каждое выражение поочередно и приведем его к виду многочлена.

1. (4m+31n)^3:
Для этого выражения используем формулу куба суммы: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
В нашем случае:
a = 4m, b = 31n.
(4m+31n)^3 = (4m)^3 + 3(4m)^2(31n) + 3(4m)(31n)^2 + (31n)^3 = 64m^3 + 372m^2n + 186m n^2 + 31n^3.

2. (2/3x - 3y)(3/2x - 3y):
Для этого выражения также используем формулу куба суммы:
a = (2/3)x, b = -3y.
((2/3)x - 3y)^3 = ((2/3)x)^3 + 3((2/3)x)^2(-3y) + 3((2/3)x)(-3y)^2 + (-3y)^3 = (8/27)x^3 - 8xy + 12x^2y - 27y^2.

3. (1/3a + 1/2b)^3:
Аналогично предыдущим выражениям, применим формулу куба суммы:
a = (1/3)a, b = (1/2)b.
((1/3)a + (1/2)b)^3 = ((1/3)a)^3 + 3((1/3)a)^2((1/2)b) + 3((1/3)a)((1/2)b)^2 + ((1/2)b)^3 = (1/27)a^3 + (1/6)a^2b + (1/18)ab^2 + (1/8)b^3.

4. (1/6x + 2y)^3:
Снова применим формулу куба суммы:
a = (1/6)x, b = 2y.
((1/6)x + 2y)^3 = ((1/6)x)^3 + 3((1/6)x)^2(2y) + 3((1/6)x)(2y)^2 + (2y)^3 = (1/216)x^3 + (1/36)x^2y + (1/18)xy^2 + 8y^3.

5. (0.2x - 5y)^3:
Используем формулу куба суммы:
a = 0.2x, b = -5y.
((0.2x - 5y)^3 = (0.2x)^3 + 3(0.2x)^2(-5y) + 3(0.2x)(-5y)^2 + (-5y)^3 = 0.008x^3 - 0.24x^2y + 1.5xy^2 - 125y^3.

6. (3a - 0.6b)^3:
Применим формулу куба суммы:
a = 3a, b = -0.6b.
((3a - 0.6b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(-0.6b) + 3(3a)(-0.6b)^2 + (-0.6b)^3 = 27a^3 - 16.2a^2b + 3.888ab^2 - 0.216b^3.

7. (0.1m - 4n)^3:
Снова использовать формулу куба суммы:
a = 0.1m, b = -4n.
((0.1m - 4n)^3 = (0.1m)^3 + 3(0.1m)^2(-4n) + 3(0.1m)(-4n)^2 + (-4n)^3 = 0.001m^3 - 0.012m^2n + 0.048mn^2 - 0.064n^3.

8. (0.5a + 0.16)^3:
Применим формулу куба суммы:
a = 0.5a, b = 0.16.
((0.5a + 0.16)^3 = (0.5a)^3 + 3(0.5a)^2(0.16) + 3(0.5a)(0.16)^2 + (0.16)^3 = 0.125a^3 + 0.12a^2 + 0.0384a + 0.004096.

Это и есть многочлены, которые приведены из данных выражений. После применения формулы куба суммы, мы получили выражения в виде многочленов, где каждое слагаемое приведено в нужной степени и упрощено при умножении.