1) Сколько разных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с цифр 1, 2, 3, 4?
Схема решения (в скобках указаны возможные варианты):
Объяснение:
Значит, общее количество вариантов: 4*3*2 = 24 трехзначных числа.
2) Сколько разных трехзначных чисел можно записать с цифр 6,7,8,9?
Решение: 4*4*4 = 64 трехзначных числа.
3) Сколько разных двузначных чисел можно записать, используя 1, 2, 3, 4?
Решение: 4*4 = 16 двузначных чисел.
4) Какова вероятность того, что двузначное число, записанное цифрами 1, 2, является четным?
Решение: Р(А) = 2 :( 2*2) =0,5
5) Сколькими можно составить расписание из 4 разных предметов на один учебный день из четырех уроков?
Решение
Сколькими можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков?
Решение
6) Сколькими можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков так, чтобы первый урок был физика, а последний физкультура?
Решение
7) Сколькими можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков так, чтобы первым уроком была физика, а перед последней физкультурой была алгебра?
Решение
8) Найти вероятность того, что в расписании на один учебный день из шести уроков из шести разных предметов вторым уроком была химия.
Решение: Р(А) = (5*1*4*3*2*1) : (6*5*4*3*2*1) = 1/6
9) Из пяти спортсменов для участия в турнире нужно послать троих. Сколькими это можно сделать?
Решение: С
10) Сколькими из 36 карт можно выбрать две карты?
Решение: С
11) На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение: С312= 12! : (9!*3!)=223 треугольников
12) В вазе лежат 5 разных яблок и 6 разных апельсин. Сколькими из них можно выбрать два яблока и два апельсина?
Решение: С25* С
13) В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика, в том числе Миша Орлов. Какова вероятность, что в концерте будет участвовать Миша, если в концерте будет участвовать один мальчик и одна девочка?
Решение: Р (А) = 6 : (С16* С14) = ¼
Целесообразно бывает при изучении комбинаторных эадач параллельно рассматривать задачи по теории вероятностей, тем самым показывая во-первых тесную связь этих тем, а во- вторых более рациональное их решение. Задачи, в которых рассматривается количество соединений разных элементов, можно начинать с 5 класса на факультативных, кружковых занятиях, при обобщающем повторении и на предметных неделях, циклично возвращаясь к ним на протяжении всего курса до 11 класса, углубляя знания по данным темам год от года.
Тогда к 11 классу учащиеся уверенно вычисляя факториалы натуральных чисел, будут находить вероятности событий и отвечать на вопросы комбинаторных задач, не испытывая дискомфорта или страха перед нестандартными учебными задачами.
ОДЗ: a ≥ 0
Геометрия уравнений:
· 1-ое уравнение системы можно представить в виде
- это уравнение окружности с центром, движущимся по кривой y=√x и радиусом (a-√a)/√2.
· 2-ое уравнение - совокупность двух прямых
1) Исследуем взаимное расположение первой прямой и окружности. Подставим y = x в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:
⇒ прямая y = x является касательной к окружности при любых a ≥ 0, что дает нам одно решение системы:
(!) Заметим, что при a = 0 и a = 1 окружность вырождается в точку (0, 0) и (1, 1) соответственно ⇒ система имеет только одно решение при этих значениях a.
2) Исследуем взаимное расположение второй прямой и окружности. Подставим y = (x+4a)/(4√a) в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:
Оценим дискриминант при значениях a = 2, a = 3, a ≥ 4:
· a = 2
т.к. 95/66 = (99 - 4)/66 = 1.5 - (2/33) > 1.5 - (7/100) = 1.43 > √2 ≈ 1.41
· a = 3
т.к. 190/98 = (196-6)/98 = 2 - (6/98) > 2 - (7/100) = 1.93 > √3 ≈ 1.73
· a ≥ 4
- очевидно, т. к.
ведь
Таким образом, при целочисленном a ≥ 2 прямая пересекает окружность в двух различных точках и, соответственно, дает 2 решения системы. Убедимся что они не совпадают с полученным ранее решением при целочисленных a. Для этого подставим x = y = = (a + √a)/2 в уравнение y = (x + 4a)/(4√a), откуда найдем a = (33+5√41)/32 - не явл. целочисленным.
При a = 0 и a = 1 система имеет одно решение. При a ≥ 2, a ∈ Z система имеет 3 решения.
ответ: при любых целочисленных a ≥ 0.
