Задача: Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого авт-ста на 17 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 102 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым авт-стом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 65 км/ч.
Обозначим скорость первого автомобилиста за x (км/ч), тогда сорсть второго на первом полупути — ха x−17 (км/ч), на втором полупути — 102 км/ч. Оба проехали общий путь за одно и то же время. Составим и решим уравнение, при условии, что x > 65 (км/ч).
x₂ = 51 < 65 — не удовлетворяет условие
х₁ = 68 > 65 — удовлетворяет условие
ответ: Скорость первого автомобилиста — 68 км/ч.
Решить уравнения :
а)√(4x² -3x -1) = 1+x ; ОДЗ : x ≥ -1
4x² -3x -1 =1+2x +x²
3x² -5x -2 = 0
x₁.₂ = ( 5±√(25 +24) ) /6
x₁ = -1/3 ; x₂ =2 . оба ≥ -1
ответ : -1/3; 2 .
б) x²+ 2√(x² -3x+11) = 3x +4 ;
x²- 3x +11 + 2√(x² -3x+11) -15 =0 ;
замена t = √(x²- 3x + 11 ) ≥0
t² +2t -15 =0 ;
t₁ = - 5 < 0 _посторонний корень . t₂ =3 .
обратная зпмена: √(x² -3x+11) =3 ; x² -3x+11 =9 ; x² -3x+2 =0 ;
x₁ = 1 ; x₂= 2 .
ответ : 1 ; 2 .
в) sin2x +sin6x = 4cos2x ; [ sinα +sinβ =2sin((α+ β)/2) *cos((α -β)/2) ]
2cos2x(sin4x -2) = 0 ; sin4x -2 ≠ 0 [ sin4x ≠ 2 ]
cos2x =0 ; 2x =π/2 +πk , k∈ Z ; x =π/4 +(π/2)*k , k∈ Z.
ответ : π/4 +(π/2)*k , k∈ Z . [ (π/4)(1+2k) , k∈ Z ]
г) (1+cos2x) /(1+sinx) = 0 ;
2cos²x / (sinx + 1) = 0 ;
{ cos²x = 0 ; sinx +1 ≠ 0 ;
{ cosx = 0 ; sinx ≠ -1 ;
sinx =±√(1-cos²x) = ±1 ;
sinx = 1 ⇒ x =π/2 +2πk , k∈ Z.
ответ : π/2 +2πk , k∈ Z .
