Такие распределения, как биномиальное, показательное, нормальное, являются семействами распределений, зависящими от одного или нескольких параметров. Например, показательное распределение с плотностью вероятностей , зависит от одного параметра λ, нормальное распределение- от двух параметровmи σ. Из условий исследуемой задачи, как правило, ясно, о каком семействе распределений идёт речь. Однако остаются неизвестными конкретные значения параметров этого распределения, входящие в выражения интересующих нас характеристик распределения. Поэтому необходимо знать хотя бы приближённое значение этих величин.
Пусть закон распределения генеральной совокупности определён с точностью до значений входящих в его распределение параметров , часть из которых может быть известна. Одной из задач математической статистики является нахождение оценок неизвестных параметров по выборке наблюденийиз генеральной совокупности. Оценка неизвестных параметров заключается в построении функцииот случайной выборки, такой, что значение этой функции приближённо равно оцениваемому неизвестному параметруθ. θ.
Статистическойоценкой(в дальнейшем простооценкой) параметраθтеоретического распределения называется его приближённое значение, зависящего от данных выбора.
Оценка является случайной величиной, т.к. является функцией независимых случайных величин ; если произвести другую выборку, то функция примет, вообще говоря, другое значение.
Существует два вида оценок – точечные и интервальные.
Точечнойназывается оценка, определяемая одним числом. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать их, используют интервальные оценки.
Интервальнойназывается оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, в котором с заданной вероятностью заключена оцениваемая величинаθ.
1. х²=169
х₁ = -13, х₂=13
х²=7
х₁= -√7, х₂=√7
х²= -10
х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)
5х²+3х=0
х(5х+3)=0
х₁=0; 5х+3=0
5х= -3
х₂= -0,6
-6х²+7=1
-6х²= 1-7
-6х²= -6 | :(-6) разделим на -6
х²=1
х₁= -1, х₂= 1
-4х²-8=0
-4х²=8 | :(-4) разделим на -4
х²= -2
х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)
2. х²-12х+36=0
используя формулу квадрата разности, получаем:
(х-6)²=0
х-6=0
х=6
х²+7х+6=0
D= 49-4×6=49-24=25
x₁= -7+5/2= -2/2= -1
x₂= -7-5/2= -12/2= -6
значит, x₁= -1, x₂= -6
-8х²+6х-10=0 | :(-2) разделим на -2
4х²-3х+5=0
D= 9-4×5=9-20= -11
если D<0, => корней нет
х∈∅(икс принадлежит пустому множеству)
3. -5х²+19х-14=0 |×(-1) домножим на (-1)
5х²-19х+14=0
D= 361-4×5×14=361-280=81
х₁=19+9/2×5=28/10=2,8
х₂=19-9/2×5=10/10=1
значит, x₁=2,8; x₂=1
сумма корней: 2,8+1=3,8
произведение корней: 2,8×1=2,8
4. х²+6х+5= (х+5)(х+1)
8х²+40х+50= 2(2х+5)²
-4х²-4х+8= -4(х+2)(х-1)
5. (-7х+4)(-7х-5)+5х= -20
49х²+35х-28х-20+5х= -20
49х²+12х=0
х(49х+12)=0
х₁=0; 49х+12=0
49х= -12
х₂= -12/49
(-8х+2)(-8х-2)+9х= -4
используя формулу разности квадратов:
64х²-4+9х= -4
64х²+9х=0
х(64х+9)=0
х₁=0; 64х+9=0
64х= -9
х₂= -9/64
6. (-х+4)/(-х-8)=(х+5)/(-х-10)
это пропорция, используем метод "крест-накрест":
(-х+4)(-х-10)=(х+5)(-х-8)
(-х+4)(-х-10)-(х+5)(-х-8)=0
х²+10х-4х-40-(-х²-8х-5х-40)=0
х²+6х-40+х²+13х+40=0
2х²+19х=0
х(2х+19)=0
х₁=0; 2х+19=0
2х= -19
х₂= -19/2
х₂= -9,5
7. -
8. пусть первое число - х, второе число - у
по условию сумма равно 50, => х+у=50
произведение 400, => ху=400
составим систему:
1. х+у=50, 2. х=50-у (подставим вместо х)
ху=400; (50-у)у=400, решаем:
50у-у²=400
у²-50у+400=0
D=2500-4×400=2500-1600=900
y₁=50+30/2=80/2=40
y₂=50-30/2=20/2=10
подставим в первое уравнение второй системы:
х₁=50-у₁=50-40=10
х₂=50-у₂=50-10=40
ответ: это числа 40 и 10
9. -
