Наддніпрянською Україною та Чорним морем була подолана: утворилася частково новоколонізована територія, поліетнічна та зорієнтована на середземноморський економічний простір. Врешті це прислужилося до розширення українських етнічних теренів (бо більшість Північного Причорномор’я становили українці), але то був лише прихований наслідок активної зовнішньої експансії Петербурзької імперії.
Щодо України часто пишуть, що вона мала «довге XIX століття». Не очевидну хронологію 1800—1900, а час тривалості характерних рис доби — 1795 — 1914, від третього поділу Речі Посполитої до початку Першої світової війни, яка змінить усе, що асоціювалося із XIX ст.
P(4) = 27
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Нам известны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3
P(3) = a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 3 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 3:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(3) = 4a*3^3 + 3b*3^2 + 2c*3 + d = 108a + 27b + 6c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3 (2)
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 108a + 27b + 6c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -81 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -108 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3 (2)
{ 0a - 54b - 72c - 78d - 80e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 2.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3 (2)
{ 0a - 27b - 36c - 39d - 40e = 0 (3)
{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0 (5)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 27 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 81 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (2)
{ 0a + 0b + 18c + 42d + 68e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0 (5)
Умножаем (2) на -9, а (3) умножаем на 2:
{ 0a + 0b - 36c - 90d - 153e = -27
{ 0a + 0b + 36c + 84d + 136e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27 (3)
Умножаем (2) на -15, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 60c - 150d - 255e = -45 (2)
{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0 (5)
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -7, а (5) умножаем на 3:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c + 42d + 119e = 189 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 42d - 117e = -135 (5)
И складываем (4) и (5):
2e = 54
e = 54/2 = 27
Подставляем в (4):
{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17*27 = -27 (4)
-6d = 17*27 - 27 = 432
d = -432/6 = -72
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-72) + 17*27 = 3 (3)
4с = 72*10 - 17*27 = 720 - 459 + 3 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-72) + 4*27 = 0 (2)
b = -132 + 216 - 108 = -24
Подставляем в (1):
a - 24 + 66 - 72 + 27 = 0 (1)
a = 24 - 66 + 72 - 27 = 3
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 3x^4 - 24x^3 + 66x^2 - 72x + 27
И, наконец-то, находим P(4):
P(4) = 3*4^4 - 24*4^3 + 66*4^2 - 72*4 + 27 =
= 3*256 - 24*64 + 66*16 - 288 + 27 =
= 768 - 1536 + 1056 - 288 + 27 = 27
График этого многочлена на рисунке.
